무한의 크기 Magnitude of Infinity
이전 포스트에서 무한에 대해 얘기했었다. 대표적인 무한 집합으로 자연수를 얘기했는데, 과연 자연수 집합의 크기보다 큰 집합이 있는지 궁금하다. 그래서 자연수보다 더 큰 집합인 정수, 유리수, 실수의 크기를 알아보도록하자. 정수는 Z, 유리수는 Q, 실수는 R로 놓고 앞으로 얘기를 전개해보겠다. 먼저 집합 Z 부터 보자. 자연수 집합 N과 Z를 함수관계로 만들때, 일대일 대응이 존재하면, 둘의 집합 크기는 같을 것이다. N은 Z의 진부분집합이고, N이 무한집합이므로 Z도 무한집합일 것이다. 둘 다 무한집합이므로, f : Z -> N 에서 일대일 대응인 f가 존재할 것이라는 말도 할 수 있을 것이다. 만약에 존재하면, 두 집합을 대등하다 볼 수 있을 것이다. f Z N 0 -->1 -1--->2 1--->3..
약수, 배수 그리고 소수 Divisor, multiple and prime number
이전 포스트에서 나눗셈에 대해 알아보았다. 사실 곱셈의 역연산으로써 정수에서 유리수로 이끄는 나눗셈이긴 하지만 말이다. 자연수 N에 대해, N=nq+r (0=< r < n) n,q,r은 자연수 으로 표현할 수 있을 것이다. 이 때 표현을 N을 n으로 나눌 때, 몫은 q이고, 나머지는 r이라고 한다. N/n = q + r/n 으로도 나타낼 수 있을 것이다. 여기서 r=0 이면, N/n=q로 자연수가 될 것이다. 그러면, N은 n으로 나눠 떨어진다고 표현할 수 있다. N=abcd 로 표현할 수 있다고 하자. 각 문자는 전부 자연수이다. 그러면, N은 a,b,c,d 각 문자에 대해 나눠떨어진다고 할 수 있고, a,b,c,d 는 N의 약수라고 할 수 있다. N은 각 문자들의 배수라고 할 수 있다. M=bcdf ..
정수의 덧셈과 곱셈 Addition and multiplication about integer
이전 포스트에서 '-' 기호와 뺄셈, 정수에 대해 얘기했고, 덧셈의 성질과 '-' 기호를 이용해 임의의 자연수 n에 대해, 0과 S(n)의 순서를 확장시킬 수 있는지 보았다. 이전 포스트에서도 언급했듯이 정수가 자연수를 포함하는 집합이고, 자연수와 일관된 구조의 순서이면, 임의의 정수 x에 대해서 ...x=y x+1=x'=y+1=y' 이니까 공리 8번에 의해 x=y 임의의 정수 k에 대해, x+k=y+k => x=y 일 때, x+k'=y+k' = x+(k+1)=y+(k+1) =(x+k)+1=(y+k)+1=> x+k=y+k => x=y 위 정리가 성립됨을 알 수 있다. 자연수 규칙에 정수를 넣었을 때 결합법칙, 교환법칙, 소거법칙이 정수에서도 성립됨을 보였으므로, 임의의 정수 x,y에 대해서 1. 임의의 ..