함수와 무한 Function and infinity

무한, 끝이 없다는 말을 많이 들어봤을 것이다.

기호로는 뫼비우스 띠 닮은 ∞ 이런 식으로 표기한다.

숫자 8을 90도로 기울인 모양이다.

 

무한의 표기는 어떻게 했다고해도

무한의 의미는 알기 힘들다.

가장 알기 좋은 방법은

집합과의 관계를 이용해서 표현이 아닐까 한다.

 

집합이란게 딴 거 없다.

A={ a, b, c }

이런 걸 집합이라고 한다.

a, b, c를 모은 집합이 A라는 뜻이다.

 

조금 더 발전된 형태로

문자와 그 특징을 표현해서 집합을 나타낼 수 있다.

N={ x ㅣ x는 자연수 }

x는 자연수인 집합 N 이렇게 말이다.

N={1,2,...}

이렇게 표현할 필요가 없으니 조금 낫다고 볼 수 있다.

 

특징을 표현하려면,

참과 거짓이 분명히 드러나게 해야할 것이다.

그래야지 집합에 들어갈 수 있는 지 파악할 수 있지 않겠는가?

 

좀 전의 집합과의 관계라고 했는데,

두 집합 사이의 관계이다.

집합 A와 집합 B의 원소들의 관계를 만드는 일 말이다.

 

관계 중에서 특별한 관계가 있는데,

이게 함수 관계이다.

f : A -> B 로 표현할 수 있는데,

이 때, A를 정의역이라고 하고,

첫번째, 모든 A의 원소가 B의 원소에 대응되어야 한다.

대응이란게 f라는 관계로 맺어져야 한다는 의미이다.

두번째는 각 A의 원소는 B의 원소 중 하나에만 대응되어야 한다.

A의 원소 a가 있으면, 

B의 원소 중 하나에만 관계가 맺어져야 한다는 뜻이다.

a를 f로 관계 맺은 값을 f(a)라고 하면,

f(a) 값이 여러개가 되면 안 된다는 말이다.

 

간단하게 그리면

 

f

A        B

a ---> x

b ---> y

c ----↗

 

이런 식의 관계를 맺게끔 하면, 

f : A -> B 는 함수관계라는 것이다.

 

모든 A의 원소가 B의 원소에 대응되었고,

각 A의 원소는 B의 원소 하나에만 대응되었음을 알 수 있다.

 

함수도 대응 유형에 따라 여러 가지로 나눌 수 있는데,

첫째로, f: A->B 에서

임의의 A의 원소 a,b에 대해,

f(a)=f(b) 이면, a=b 가 되는 유형이 있다.

 

간단하게 그리면,

 

f

A        B

a ----> x

b ----> y

c ----> z

          w

 

이런 관계가 있겠다.

정의역인 A인 원소 모두가 대응되었으니,

함수라고 할 수 있다.

집합 B는 공역이고,

A의 원소와 대응되는 B의 원소들의 집합을 치역이라고 한다.

공역은 { x, y, z, w }

치역은 { x, y, z }

이므로, 치역은 공역의 부분집합 관계임을 알 수 있다.

함수 관계에 대응되지 않는 공역의 원소도 있을 수 있다는 얘기이다.

 

여튼, 앞에서 언급한 유형의 함수를 

일대일 함수( one-to-one function )라고 한다.

단사함수(injection, injective function )라고도 한다.

 

 

또 하나는 f : A->B 에서,

모든 B의 원소가 A에 속한 a에 대해, 

b=f(a)가 되는 함수 관계이다.

이 때, b는 B의 원소이다.

 

f

A        B

a ---> x

b ---> y

c ----↗

 

처음에 그렸던 이 관계도가

이번에 말하는 함수 관계에 속한다.

모든 B의 원소가 A의 원소와 대응되었다는 사실을 알 수 있다.

이런 함수를 전사함수 ( surjection, surjective function ) 이라 한다.

위로의 함수 ( onto function ) 이라고도 한다.

위로가 위쪽으로 이런 뜻이지, 자기 위로의 위로가 아니다.

위의 단사함수와 다르게, 공역과 치역이 같은 특징을 보인다.

 

마지막은 위의 두 유형을 합친

일대일 대응, 전단사 함수 ( bijection, bijective function )이다.

 

f

A        B

a ----> x

b ----> y

c ----> z

 

이게 대표적인 예이다.

각 A의 원소와 B의 원소가 서로 하나씩 대응되어야 하는 관계이다.

일대일 함수 중에 치역과 공역이 같은 함수라고도 할 수 있다.

 

그래서 이 관계는 f : A ->B 와 I(f) : B -> A 가 전부 함수관계가 성립된다.

I(f)는 f의 역함수 관계라 역(Inverse)의 I를 땄다.

첫 번째는 모든 B의 원소가 대응되지 않았기 때문에,

I(f)가 함수 관계가 될 수 없고,

두 번째는 B의 모든 원소가 대응이 되었지만,

한 원소가 여러 개 대응되는 경우가 있어,

I(f)가 함수 관계가 될 수 없다.

 

즉, 역함수가 정의될 수 있는 조건은

f가 일대일 대응 ( 전단사 함수)이 되어야 함을 알 수 있다.

 

집합 A의 원소의 갯수를 n(A)라고하면,

n(A)는 자연수로 나타낼 수 있을 것이다.

 

함수의 세 유형으로 집합의 갯수를 파악할 수 있을 것이다.

기본적인 원리는 운동회 때 공던지기 놀이에서

들어간 공의 수를 셀 때 쓰는 방법과 같은 원리로 보면 된다.

 

f : A -> B 에서 단사, 일대일 함수가 존재할 경우,

n(A) 가 n(B) 보다 크거나 같을 것이다.

A 원소가 서로 다르면 대응되는 B 원소가 다른 경우이고,

A의 원소는 모두 대응되어야 하므로,

B의 원소 개수는 A의 원소 개수 이상이 되어야 한다.

n(A) =< n(B)

 

둘째, 전사 함수로 밖에 되지 않는 경우는,

A에 있는 원소가 달라도 대응되는 B의 원소가 같은 경우가 있고,

B의 원소가 모두 대응되어야 하므로,

A의 원소 개수가 B의 원소 개수 이상이 되어야 한다.

n(A) >= n(B)

 

마지막으로 두 집합 사이에 .

일대일 대응, 전단사 함수가 존재하는 경우인데,

두 경우의 교집합인 경우이므로,

n(A) = n(B) 인 경우 뿐이다.

A 원소가 서로 다르면 대응되는 B 원소가 다르고

A와 B의 원소 모두 대응되어야 하므로,

두 집합의 갯수는 같아야 한다.

 

f : A -> B 에서 일대일 대응이 존재하는 경우

n(A) = n(B) 이기도 하고, 두 집합을 서로 대등하다고 한다.

대등하다는 기호는 A ~ B로 쓴다.

 

지금까지는 집합 갯수가 유한한 집합에 대한 얘기였다.

그렇다면, 무한한 집합은 어떻게 표현할 것인지를 알아보겠다.

진부분집합( proper subset ) 개념을 넣어서 표현할 것이기 때문에,

부분집합( subset )에 대해 먼저 알아보고 얘기하겠다.

 

A가 B의 부분집합이라고 하면,

A=B 일 때도 포함하여 부분집합이라고 한다. 

A가 B의 부분집합이긴 하지만

A=B 가 아니면, A는 B의 진부분집합 ( proper subset )라고 한다.

예를 들어 A={a,b,c}, B ={ a,b,c,d,e } 이면,

A는 B의 진부분집합이 되는 것이다.

 

이제 무한 개념의 표현으로 들어와서,

이 개념에 대한 표현은

집합 A와 A의 진부분집합 B에대해

f : A -> B 가 일대일대응이 존재하면,

A,B는 무한집합이라는 것이다.

 

유한한 갯수로는 절대 성립이 되지 않는 개념이지만,

무한을 표현하기엔 이만한 표현이 없는 거 같다.

매커니즘을 파악하면 이해가 잘 될 것이다.

 

f

A        B

a ---> x

 

[무한 1]

 

A, B는 일대일 대응이므로, 

A 집합에 대응되는 B 집합의 원소가 있어야 할 것이다.

A에 원소가 있으면, B에 대응되는 원소가 반드시 있어야 한다.

 

하지만, B는 A의 진부분집합이다.

그래서 A는 B와 일대일 대응이 되는 원소 외에 원소가 반드시 있어야한다.

 

f

A        B

a ---> x

b         

 

[무한 2]

 

이 상태에서는 일대일 대응이 아니므로

일대일 대응을 만들기 위해, 

B는 A의 원소 b에 대응되는 원소가 있어야 한다.

그런 상황을 만들게 되면,

 또 [무한1]과 같은 상황이 벌어진다.

그 상황을 해결하기 위해

[무한 2]와 같은 상황이 다시 벌어진다.

이 두 가지 과정이 멈추지 않고 반복이 된다.

 

결국, 무한의 개념은 [무한 1]과 [무한 2]의 끝없는 반복이다. 

 

유한 집합에서는 모순된 개념이지만,

무한 집합끼리는 전혀 모순된 개념이 아니게된다.

각 과정에서 모순을 잡아주기 위해

끝없는 반복으로 집합의 수를 끝없이 즉, 무한히 늘려주기 때문이다.

 

자연수와 자연수의 부분집합을 생각해보자.

N을 자연수 집합으로 하고,

자연수에서 1을 뺀 집합을 M이라고 하자.

그러면, M은 N의 진부분집합이 될 것이다.

여기서 함수 f : N -> M 을 정할 때,

f(n)=n' 이라고 하자. n'=n+1이다.

 

f

N        M

1 ----> 1'

  1' ---> (1')'

.

.

.

 

자연수는 임의의 자연수 n 에 대해 그 다음 수가 있는 집합이므로,

N과 M은 일대일 대응이 존재한다.

M은 N의 진부분집합이므로,

N과 M은 무한집합이고,

자연수 집합의 수는 무한하다고 할 수 있다.

 

무한이란 감이 잡히지 않는 표현을

함수 관계를 통해 무한을 표현했다.

앞에 설명한 매커니즘을 생각하면 

조금 더 무한의 본질에 다가갈 수 있지 않나 생각한다.