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교육/수알못시리즈

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삼각함수의 덧셈 합성 Additive synthesis of trigonometric functions 삼각 함수가 있을 때, 각들을 합성했을 때 값을 각 값들의 삼각함수로써 알 수 있으면 계산이 편해질 것이다. 예를 들면, sin (a+b) 를 sin a, sin b, cos a , cos b 의 연산으로 구성시키는 일 말이다. ​ 일단 단위원에서의 좌표를 생각해보자. 단위원이란 건 반지름이 1인 원이니까, 원 위의 좌표는 삼각함수로 나타낼 수 있을 것이다. 좌표에서 각을 정하는 기준은 위의 그림과 같다. 원점에서 단위 원 위의 임의의 점 두 개에 선을 그어서 삼각형을 만들 수 있을 것이다. 이런 식으로 말이다. 그림이 좀 허접하긴 하다. ​ 단위원 내 삼각형의 점은 각각 A ( cos a, sin a ), B ( cos b, sin b ) 와 원점 O로 나타낼 수 있다. 선분 OA 는 좌표 가로축 a ..
지수함수의 미분 Differential of exponential function 이전 포스트에서 e라는 상수에 대해 얘기했었다. 여기서 n 은 자연수였다. 그런데, n이 실수여도 무한대로 가는 건 마찬가지이니, 실수 범위에서 적용해도 결과는 같을 것이다. 그래서 이렇게도 가능하고, 1/r 은 0에 다가가므로, 이렇게도 표현할 수 있다. 이 형태를 잘 기억하기 바란다. 지수함수 미분시, 이런 형식을 만들어 치환시키면서 유도할 것이기 때문이다. ​ 지수함수란건 미지수 x가 있을 때, 이런 형식이다. a는 임의의 양의 실수로 하겠다. 0이나 음의 실수는 정의역에 따라 실수로 나타나지 않거나 정의할 수 없기 때문이다. ​ 그러면 상수 e 에 대해서도 지수함수를 만들 수 있을 것이다. 그리고 이 함수를 미분하도록 하겠다. ​ 일단 이 함수가 연속임을 알아보자. e^x 는 e가 2와 3 사이에..
삼각함수의 미분 Differential of trigonometric function 삼각함수라면 sin(x), cos(x) 가 있다. 이들을 어떻게 미분할 지를 생각해보도록 하겠다. 이 두 함수를 생각하는 건 삼각함수의 기본이기 때문이다. 다른 삼각함수는 두 함수의 조합이라 이 두 삼각함수 미분만 알면, 함수 미분의 원리로 구할 수 있다. 심지어 이 두 함수는 서로를 평행이동 시켜서 생겨난 것이라 하나만 생각해도 될 일이다. 코사인을 기준으로 하든 사인을 기준으로 하든 관계없지만, 일단 사인 함수를 기준으로 잡고 생각해보도록 하겠다. ​ 우선 한 가지 사실을 파악하고 가보자. 이 사실은 이후의 논증에 매우 도움이 되는 사실이기 때문이다. sin(x)/ x 의 0으로의 극한 값을 살펴보자. 이렇게 극한이 밝혀졌고, x>0 일 때는 sin(x) < x 임도 파악이 되었다. ​ 미분이 되는 ..
삼각함수와 지수함수의 테일러 급수 Taylor series of trigonometric and exponential function 이전 포스트에서 테일러 급수에 대해 했었고, 삼각함수와 지수함수의 미분을 다뤘었다. 둘 다 임의의 실수에서 무한번 미분 가능하기 때문에 어느 실수에 대해서도 테일러 급수로 나타낼 수 있다. 아무래도 조금 더 간단하게 테일러 급수의 상수값을 0으로 하는 맥클로린 급수로 나타낼 것이다. ​ 삼각함수와 지수함수를 무한한 다항식으로 나타내기 위해서 테일러 급수를 상기해보도록하자. 여기에 c=0 을 대입하면 맥클로린 급수가 된다는 얘기였다. ​ 지수함수와 삼각함수에서 0이 되는 값을 보자. 그러면, 각 함수에 대해서 이런 식으로 나타낼 수 있다. 여기에 복소수를 넣도록 해보자. 예를 들어 ix 말이다. 이걸 넣게되면 지수함수가 삼각함수의 조합으로 나오는 걸 알 수 있다. 여기서 도출된 식은 복소수에 대해 얘기할 ..
테일러 급수 Taylor series 테일러라는 사람이 착안한 급수라서 테일러 급수라 이름 짓는 것 같은데, 여러 가지로 많이 사용되는 것이라 소개한다. 어떤 함수를 무한한 다항함수로 만들면 어떨까하는 발상에서 생겨난 급수로 보인다. 다항함수의 미분에 대해 좀 뒤에 간단히 다뤄볼 것이지만, 유한한 다항함수는 미분을 유한번 밖에 못한다. 그렇다면 테일러 급수로 다룰 함수는 무한히 미분이 가능한 함수여야 할 것이다. ​ 우선 다항함수의 미분을 간단히 알아보자. x 의 n 승을 미분하면, x의 n-1 승에 n을 곱한 형식이다. 한 번 여러 번 미분해보도록 하자. x 의 n 승을 k 번 ( k =< n ) 미분하면, 빨간색 네모와 같이 된다. 즉, x 의 n 승은 n번까지 미분 가능하다. k = n 일 때, n! 이라는 상수가 되고, 이걸 미분하면..
미분과 적분과의 관계 Relation between differential and integral 저번 포스트에서 부정적분에서 F(x) 함수에 대해 얘기해봤다. 이 함수를 통해 정적분도 표현할 수 있었다. 그렇게 전개하면서 F(x)와 f(x) 의 관계를 차후에 규명할 것이라고 했었는데, 이번 시간에 이를 규명할 것이다. ​ 리만 적분 때나 부정적분 때 언급은 하지 않았지만, 해당 함수는 어느 수 범위 안에서 존재하는 유계함수라는 조건을 가진다는 걸 생각해라. 우선, 부정 적분은 이런 형식으로 나타낼 수 있다. 이 형식은 간격의 크기와 함수값의 곱들을 합친 형태이므로, 식에서 하나의 간격만 딱 가져온다면, 식의 간격이 0으로 갈 때, 함수값이 실수 내에서 존재하므로, 간격과 함수값의 곱도 0으로 간다. 이는 함수값과 간격의 곱과 간격의 나눗셈의 값이 존재할 가능성이 있다는 얘기이다. 가능성이 있는지 파..
부정적분 Indefinite integral 이 적분도 리만적분에 기반한 건데, 이전에 했던 적분은 범위가 정해져있는 적분이라고 한다면, 이번에 다룰 것은 범위가 변동되는 적분이다. 표현하자면 다음과 같다. ​ ​ 우선 정적분에 대해서 생각해보면, 이런 거를 아래와 같이 표현할 수 있을 것인데, 0과 1부터 n까지 양의 정수 i, j에 대해, i < j 일 때, x_i < x_J 라고 하면, 저 절대치는 그냥 그대로 양수가 되고, min 들어간 거와 max 들어간 거는 서로 수렴해서 같은 값이고, 이 식에서 가장 끝 항이 x_n 이 될 것인데, 이 값은 n이 얼마이건 간에 b가 될 것이므로, 이 식에는 b가 들어간다는 사실을 알 수 있다. 그리고, 첫 항인 x_0 = a 도 무조건 들어갈 것이므로, 해당 식은 a와 b가 들어간 식으로 볼 수 있다...
함수 덧셈에 관한 리만 적분 Riemann integral about addition of functions 리만 적분 때 이런 거를 유도해놓고, 덧셈에 대한 얘기를 하지 않았는데, 덧셈 얘기를 하기엔 이 얘기의 분량이 좀 생길 것 같아 포스트를 따로 만들어 적고자 이번 포스트를 만든다. ​ 덧셈이란게 리만 적분 되는 함수 두 개를 정적분 하는 것인데, 여기에 f(x), g(x) 둘다 리만 적분이 가능할 때, f(x) + g(x) 도 가능한지를 파악해보자는 거다. 물론 범위가 같을 경우에 대해서 파악하는 것이다. ​ 이걸 유도하기 위해서 이 두 개의 값을 비교해보도록 하자. 범위 I에 대해서 두 함수가 최대일 때의 정의역이 m으로 같다면, 이런 식으로 표시 될 것이고, f, g에 m이 동시에 들어갔고, 최대값 끼리 더한 값이므로, f(x) + g(x) 도 m에서 최대일 것이다. ​ 만약 f와 g가 최대값일 때 ..

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