교육/수알못시리즈 (62) 썸네일형 리스트형 삼각함수의 덧셈 합성 Additive synthesis of trigonometric functions 삼각 함수가 있을 때, 각들을 합성했을 때 값을 각 값들의 삼각함수로써 알 수 있으면 계산이 편해질 것이다. 예를 들면, sin (a+b) 를 sin a, sin b, cos a , cos b 의 연산으로 구성시키는 일 말이다. 일단 단위원에서의 좌표를 생각해보자. 단위원이란 건 반지름이 1인 원이니까, 원 위의 좌표는 삼각함수로 나타낼 수 있을 것이다. 좌표에서 각을 정하는 기준은 위의 그림과 같다. 원점에서 단위 원 위의 임의의 점 두 개에 선을 그어서 삼각형을 만들 수 있을 것이다. 이런 식으로 말이다. 그림이 좀 허접하긴 하다. 단위원 내 삼각형의 점은 각각 A ( cos a, sin a ), B ( cos b, sin b ) 와 원점 O로 나타낼 수 있다. 선분 OA 는 좌표 가로축 a .. 지수함수의 미분 Differential of exponential function 이전 포스트에서 e라는 상수에 대해 얘기했었다. 여기서 n 은 자연수였다. 그런데, n이 실수여도 무한대로 가는 건 마찬가지이니, 실수 범위에서 적용해도 결과는 같을 것이다. 그래서 이렇게도 가능하고, 1/r 은 0에 다가가므로, 이렇게도 표현할 수 있다. 이 형태를 잘 기억하기 바란다. 지수함수 미분시, 이런 형식을 만들어 치환시키면서 유도할 것이기 때문이다. 지수함수란건 미지수 x가 있을 때, 이런 형식이다. a는 임의의 양의 실수로 하겠다. 0이나 음의 실수는 정의역에 따라 실수로 나타나지 않거나 정의할 수 없기 때문이다. 그러면 상수 e 에 대해서도 지수함수를 만들 수 있을 것이다. 그리고 이 함수를 미분하도록 하겠다. 일단 이 함수가 연속임을 알아보자. e^x 는 e가 2와 3 사이에.. 삼각함수의 미분 Differential of trigonometric function 삼각함수라면 sin(x), cos(x) 가 있다. 이들을 어떻게 미분할 지를 생각해보도록 하겠다. 이 두 함수를 생각하는 건 삼각함수의 기본이기 때문이다. 다른 삼각함수는 두 함수의 조합이라 이 두 삼각함수 미분만 알면, 함수 미분의 원리로 구할 수 있다. 심지어 이 두 함수는 서로를 평행이동 시켜서 생겨난 것이라 하나만 생각해도 될 일이다. 코사인을 기준으로 하든 사인을 기준으로 하든 관계없지만, 일단 사인 함수를 기준으로 잡고 생각해보도록 하겠다. 우선 한 가지 사실을 파악하고 가보자. 이 사실은 이후의 논증에 매우 도움이 되는 사실이기 때문이다. sin(x)/ x 의 0으로의 극한 값을 살펴보자. 이렇게 극한이 밝혀졌고, x>0 일 때는 sin(x) < x 임도 파악이 되었다. 미분이 되는 .. 삼각함수와 지수함수의 테일러 급수 Taylor series of trigonometric and exponential function 이전 포스트에서 테일러 급수에 대해 했었고, 삼각함수와 지수함수의 미분을 다뤘었다. 둘 다 임의의 실수에서 무한번 미분 가능하기 때문에 어느 실수에 대해서도 테일러 급수로 나타낼 수 있다. 아무래도 조금 더 간단하게 테일러 급수의 상수값을 0으로 하는 맥클로린 급수로 나타낼 것이다. 삼각함수와 지수함수를 무한한 다항식으로 나타내기 위해서 테일러 급수를 상기해보도록하자. 여기에 c=0 을 대입하면 맥클로린 급수가 된다는 얘기였다. 지수함수와 삼각함수에서 0이 되는 값을 보자. 그러면, 각 함수에 대해서 이런 식으로 나타낼 수 있다. 여기에 복소수를 넣도록 해보자. 예를 들어 ix 말이다. 이걸 넣게되면 지수함수가 삼각함수의 조합으로 나오는 걸 알 수 있다. 여기서 도출된 식은 복소수에 대해 얘기할 .. 테일러 급수 Taylor series 테일러라는 사람이 착안한 급수라서 테일러 급수라 이름 짓는 것 같은데, 여러 가지로 많이 사용되는 것이라 소개한다. 어떤 함수를 무한한 다항함수로 만들면 어떨까하는 발상에서 생겨난 급수로 보인다. 다항함수의 미분에 대해 좀 뒤에 간단히 다뤄볼 것이지만, 유한한 다항함수는 미분을 유한번 밖에 못한다. 그렇다면 테일러 급수로 다룰 함수는 무한히 미분이 가능한 함수여야 할 것이다. 우선 다항함수의 미분을 간단히 알아보자. x 의 n 승을 미분하면, x의 n-1 승에 n을 곱한 형식이다. 한 번 여러 번 미분해보도록 하자. x 의 n 승을 k 번 ( k =< n ) 미분하면, 빨간색 네모와 같이 된다. 즉, x 의 n 승은 n번까지 미분 가능하다. k = n 일 때, n! 이라는 상수가 되고, 이걸 미분하면.. 미분과 적분과의 관계 Relation between differential and integral 저번 포스트에서 부정적분에서 F(x) 함수에 대해 얘기해봤다. 이 함수를 통해 정적분도 표현할 수 있었다. 그렇게 전개하면서 F(x)와 f(x) 의 관계를 차후에 규명할 것이라고 했었는데, 이번 시간에 이를 규명할 것이다. 리만 적분 때나 부정적분 때 언급은 하지 않았지만, 해당 함수는 어느 수 범위 안에서 존재하는 유계함수라는 조건을 가진다는 걸 생각해라. 우선, 부정 적분은 이런 형식으로 나타낼 수 있다. 이 형식은 간격의 크기와 함수값의 곱들을 합친 형태이므로, 식에서 하나의 간격만 딱 가져온다면, 식의 간격이 0으로 갈 때, 함수값이 실수 내에서 존재하므로, 간격과 함수값의 곱도 0으로 간다. 이는 함수값과 간격의 곱과 간격의 나눗셈의 값이 존재할 가능성이 있다는 얘기이다. 가능성이 있는지 파.. 부정적분 Indefinite integral 이 적분도 리만적분에 기반한 건데, 이전에 했던 적분은 범위가 정해져있는 적분이라고 한다면, 이번에 다룰 것은 범위가 변동되는 적분이다. 표현하자면 다음과 같다. 우선 정적분에 대해서 생각해보면, 이런 거를 아래와 같이 표현할 수 있을 것인데, 0과 1부터 n까지 양의 정수 i, j에 대해, i < j 일 때, x_i < x_J 라고 하면, 저 절대치는 그냥 그대로 양수가 되고, min 들어간 거와 max 들어간 거는 서로 수렴해서 같은 값이고, 이 식에서 가장 끝 항이 x_n 이 될 것인데, 이 값은 n이 얼마이건 간에 b가 될 것이므로, 이 식에는 b가 들어간다는 사실을 알 수 있다. 그리고, 첫 항인 x_0 = a 도 무조건 들어갈 것이므로, 해당 식은 a와 b가 들어간 식으로 볼 수 있다... 함수 덧셈에 관한 리만 적분 Riemann integral about addition of functions 리만 적분 때 이런 거를 유도해놓고, 덧셈에 대한 얘기를 하지 않았는데, 덧셈 얘기를 하기엔 이 얘기의 분량이 좀 생길 것 같아 포스트를 따로 만들어 적고자 이번 포스트를 만든다. 덧셈이란게 리만 적분 되는 함수 두 개를 정적분 하는 것인데, 여기에 f(x), g(x) 둘다 리만 적분이 가능할 때, f(x) + g(x) 도 가능한지를 파악해보자는 거다. 물론 범위가 같을 경우에 대해서 파악하는 것이다. 이걸 유도하기 위해서 이 두 개의 값을 비교해보도록 하자. 범위 I에 대해서 두 함수가 최대일 때의 정의역이 m으로 같다면, 이런 식으로 표시 될 것이고, f, g에 m이 동시에 들어갔고, 최대값 끼리 더한 값이므로, f(x) + g(x) 도 m에서 최대일 것이다. 만약 f와 g가 최대값일 때 .. 이전 1 2 3 4 ··· 8 다음 목록 더보기
