미분과 적분과의 관계 Relation between differential and integral

저번 포스트에서 부정적분에서 F(x) 함수에 대해 얘기해봤다.

이 함수를 통해 정적분도 표현할 수 있었다.

그렇게 전개하면서 F(x)와 f(x) 의 관계를 차후에 규명할 것이라고 했었는데,

이번 시간에 이를 규명할 것이다.

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리만 적분 때나 부정적분 때 언급은 하지 않았지만,

해당 함수는 어느 수 범위 안에서 존재하는 유계함수라는 조건을 가진다는 걸 생각해라.

우선, 부정 적분은 이런 형식으로 나타낼 수 있다.

이 형식은

간격의 크기와 함수값의 곱들을 합친 형태이므로,

식에서 하나의 간격만 딱 가져온다면,

식의 간격이 0으로 갈 때, 함수값이 실수 내에서 존재하므로,

간격과 함수값의 곱도 0으로 간다.

이는 함수값과 간격의 곱과 간격의 나눗셈의 값이 존재할 가능성이 있다는 얘기이다.

가능성이 있는지 파악해보자.

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중간값 정리를 이용하여 구할 것이므로,

해당 구간 내에 함수가 연속이라고 가정하고 구할 것이다.

이렇게 된다.

I의 임의의 원소에 대해서 이런 식으로 되므로,

따라서 F ( x) 와 f(x)의 관계는 이런 식으로 되고,

f(x)의 부정적분은 이런 식으로 되므로,

F ( x) 를 미분하면 f(x)

f(x)를 적분하면 F (x) + C ( C 는 상수)

상수는 미분하면 0이 되므로,

F (x) + C 를 미분해도 f(x)

그러므로, 미분과 적분은 서로 역연산 관계임을 알 수 있다.

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여기서 F(x)가 전영역에서 미분 가능한 함수이면,

f(x)가 연속함수가 될 것이고,

F(x)가 어느 지점에서 미분 불가능 함수이면,

f(x)는 불연속함수가 될 것이다.

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여기서 알 수 있는 거는 불연속 함수도 적분이 가능하기 때문에

미분 가능한 함수보다 적분 가능한 함수 범위가 더 많다는 것이다.

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지금까지 미분과 적분의 관계를 간단하게 알아봤다.