함수 덧셈에 관한 리만 적분 Riemann integral about addition of functions

리만 적분 때 이런 거를 유도해놓고,

덧셈에 대한 얘기를 하지 않았는데,

덧셈 얘기를 하기엔 이 얘기의 분량이 좀 생길 것 같아

포스트를 따로 만들어 적고자 이번 포스트를 만든다.

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덧셈이란게 리만 적분 되는 함수 두 개를 정적분 하는 것인데,

여기에 f(x), g(x) 둘다 리만 적분이 가능할 때,

f(x) + g(x) 도 가능한지를 파악해보자는 거다.

물론 범위가 같을 경우에 대해서 파악하는 것이다.

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이걸 유도하기 위해서

이 두 개의 값을 비교해보도록 하자.

범위 I에 대해서 두 함수가 최대일 때의 정의역이 m으로 같다면,

이런 식으로 표시 될 것이고,

f, g에 m이 동시에 들어갔고,

최대값 끼리 더한 값이므로,

f(x) + g(x) 도 m에서 최대일 것이다.

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만약 f와 g가 최대값일 때 정의역이 다르다면,

이런 식으로 될 것이고,

두 함수를 더한 값에 대해서 최대값이 위와 같다면,

n은 M 이나 m 중 하나와 같든지 둘 다 와 다를 수 있다.

두 경우에 대해서 보면 결과는 위와 같다.

최소값에 대해서는 부등호만 반대로해서 똑같이 증명하면 되므로,

여기서는 생략하겠다.

결과는 이렇다.

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이 결과로 덧셈의 리만 적분을 유도해보자.

범위 정의를 이런 식으로 해놓고,

리만 적분의 형식을 전개하면, 다음과 같고,

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f, g 모두 리만적분이 되므로,

이 두 극한은 가운데 것으로 수렴된다.

이 양 극한을 다른 방식으로 전개해보자.

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크기 관계가 이렇게 되는데,

전개의 양 끝의 식이 수렴하므로,

이 전개는

이 형식으로 수렴하게 되므로,

앞에 전개했던 수렴값과 같다는 결론에 이르게 된다.

리만 적분이 되는 두 함수에 대해서, 같은 범위에 있을 때,

덧셈에 대한 분배가 가능함을 보였다.

처음에 이전 포스트에서 보였던 상수곱에 대한 리만 적분에 대한 사실과 합쳐서 볼 때,

리만 적분은 선형 변환임을 알 수 있다.

즉, 같은 범위에 있을 때,

이렇게 된다는 얘기이다.