평균값 정리 Mean value theorem

이전 포스트에서 함수값의 변화를 통해 미분, 도함수를 이끌어냈었다.

그러면, 미분 가능한 함수에서

이런 관계가 성립되는지가 궁금할 것이다.

이게 성립한다고 하면, 이 정리를 평균값 정리라고 할 것이다.

일단, f가 x와 x+Δx 구간에서 1차 다항 함수이면,

해당 구간에서 도함수는 이런 식으로 되므로,

위 식이 성립된다.

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해당 함수가 1차 다항 함수가 아닌 일반적인 경우를 생각해보자.

이 경우는 조금 복잡하게 생각해야하기 때문에

다른 정리를 통해서 앞에서 파악하고자하는 사실을 증명해보겠다.

그렇기에 우선 다른 정리라고 하는 것을 소개하고 왜 그렇게 되는지를 보이겠다.

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다른 정리라고 하는 거는 롤의 정리라고 이름하기도 하는데,

정리의 내용은 다음과 같다.

a의 함수값과 b의 함수값이 같을 때, a, b 사이에 있는 p 함수값이 있어

p의 도함수 값은 a와 b 사이의 기울기인 0과 같다는 얘기다.

p의 함수값이 구간 내에서 최소일 때도 같은 방식으로 보일 수 있다.

이 정리로써 평균값 정리를 마저 증명하도록 하겠다.

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이런 식이 된다.

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모든 정의역에서 미분 가능한 함수가 있다면,

임의의 x에 대해 다음이 성립한다는 얘기이고,

도함수의 극한을 다른 방식으로 표현할 수 있는 근거가 된다.

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