푸비니 정리 Fubini theorem

이전에 단일 변수에 대한 리만 적분에 대해서 알아보았다.

범위를 잘게 쪼개 놔서 쪼개놓은 범위에서 최소값 기준의 합과 최대값 기준의 합이 서로 수렴될 때

이런 거를 리만 적분이라고 했다.

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이번엔 다변수에 대한 리만 적분에 대해 생각해볼 건데,

최소값 기준 것을 하합 또는 리만 하합.

최대값 기준 것을 상합 또는 리만 상합이라 서술하면서 글을 전개하도록 하겠다.

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범위 I, J에 대해 리만 적분 가능한 함수 f : X x Y -> R 이 있다고 하고,

I ⊆ X, J ⊆ Y 라고 하자.

여기서 I 를 m 개로 나누고 J를 n 개로 나누어 함수가 나타내는 영역의 크기를 근사할 수 있을 것이다.

이 때 범위 I x J = A 라고 하면, A는 mn 개의 범위가 될 것이다.

여기서 리만 적분 값은 다음과 같이 나타낼 수 있을 것이다.

적분 기호 옆에 적은 거는 적분할 영역을 아래에다 적은 것이다.

범위가 어디에서 어디까지다 라고 적는 방법도 있고,

이 범위에서 적분할 것이다 라고 적는 방법도 있으니

이런 방법도 참고해두면 좋겠다.

여튼 , 이 세 가지가 과연 같은 값이 될 지 알아보자.

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일단 리만 하합에 대해서 정의하면 다음과 같다.

상합은 위 기호에 L 대신에 U를 붙혀 나타낼 수 있다.

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A의 일부 영역 A_k,l 에서 다음과 같은 관계를 나타내므로,

리만 하합과 상합의 관계로 나타내면,

이런 식으로 될 것이고,

f( x, y ) 는 정의된 영역에서 리만 적분이 된다고 했으니,

위에 적은 값들은 다 하나의 값으로 수렴이 되고,

세 가지 표현은 결국 같은 값이 된다.

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여기서 리만 적분 가능한 함수 f ( x, y, z ) 가 있을 때도 같은 방식으로 적용할 수 있다.

함수 f는 V 영역 내에서 리만적분 가능하므로,

V 영역 일부인 I, J, K 에서 어느 순서로 적분해도 같은 값이 나온다.

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여기서 확장하면, 리만 적분 가능한 함수 f를 다음과 같이 정했을 때,

이런 식으로 쓸 수 있고,

적분 순서를 바꿔도 값은 같게 된다.

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적분을 여러번 하는 걸 중적분이라고 하는데,

이 정리로 영역 내에서 리만 적분 가능한 함수에 대해

중적분할 때 각 변수에 대해 적분을 하는 방법으로 할 수 있는 근거가 마련되었다고 보면 된다.