함수의 극한 limit of a function

이전에 수열의 극한에 대해서 다뤘었다.

수열도 자연수가 정의역인 함수의 일종으로 볼 수 있을 것이다.

f : N -> R

이런 식 말이다.

공역은 실수 집합 R 대신에 다른 집합도 넣을 수 있다.

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수열이 수렴할 때 수열의 항 값이 수렴 값 근방으로 가지 않았는가?

이 생각을 함수에 대해서 한다고 하면,

정의역에서 수렴하는 값을 정할 수 있고,

수렴하는 값으로 다가갈 때,

함수 값도 어떤 수렴하는 값으로 다가가게 만들 수 있을 것이다.

그렇다면 함수의 극한을 만들 수 있을 것이다.

이 개념이 나중에 함수의 연속 등 여러가지 개념과 연동해서 쓰일 것인데,

이게 수렴 값보다 작은 값에서 다가갈 때와 큰 값에서 다가갈 때의 일치여부로 판별하므로,

정의는 개구간에서 한다.

예를 들면 x에 대해서, a < x < b 이런 구간 말이다.

상한은 b, 하한은 a 로써 존재하지만,

최대값, 최소값은 없다.

즉, 해당 구간의 임의의 원소가 있을 때, 항상 그 보다 작은 값, 큰 값을 정할 수 있다는 얘기이고,

나중에 다룰 함수의 연속 등의 개념에 써먹을 수 있다는 얘기가 되겠다.

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앞에서 서술한 사항을 기호로 쓰면,

이런 형식으로 나타낼 수 있다.

수열의 극한에 자연수에 속하는 모든 n에 대해서 n > M 인 M이 존재한다고 나와있는 부분이

x 와 a 와의 거리가 0초과 δ 미만인 δ 가 존재한다고 서술되었다.

이 때문인진 몰라도 a 로 수렴하는 수열을 만들어서 이 수열이 수렴할 때,

수열 항에 대한 함수가 있어 이 함수의 수열도 수렴한다는 식으로 수열의 극한을 정의하기도 한다.

이런 식으로 말이다.

위에 적어놓은 정의에서 그리스 문자 두 개 δ , ε 이 있는데,

각각 distance의 첫 글자와 error 의 첫 글자의 해당하는 그리스 문자라고 한다.

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좀 전에 언급했던 좌극한, 우극한이란 놈은

위 정의에 있는 절대값을

이렇게 해놓고, 왼쪽에 있는 걸 정의에 넣으면 좌극한이 되고

오른쪽에 있는 걸 정의에 넣으면 우극한이 된다.

왼쪽에 있는건 a > x 이고, 오른쪽에 있는 건 x > a 이므로,

좌표 평면 상에서 생각했을 때, 각각 a의 왼쪽 , 오른쪽에서 다가오는 형태이기 때문이다.

좌극한, 우극한은 위와 같이 표기한다.

이건 첨자 식으로 표현했지만, 각각 a-0, a+0 으로 표기하기도 한다.

지금 상황은 좌극한, 우극한이 L로 같은 상황이므로,

이런 말이 성립된다.

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좌극한 우극한이 같을 때는 함수의 극한은 유일하다.

함수라는게 정의역 원소에서 함수 값이 유일하도록 정의를 했기 때문이다.

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두 함수의 극한이 다를 때, 그 근방에서의 크기는 극한에서의 크기 관계와 같은지 보자.

따라서 f(x) 극한과 g(x) 극한 크기 관계는 그 근방에서의 관계에서도 유지됨을 보였다.

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함수의 극한도 수열의 극한과 성질이 같음을 알 수 있다.

그러므로 함수의 극한도 사칙 연산에 대해서 성립한다고 할 수 있다.

x와 a간의 거리가 0 초과 δ 미만인 δ 의 존재 부분을 모든 n > M 인 M의 존재로 바꿔 대입하면 된다.

함수의 극한에서 계속 나왔던 0 초과 부분에 대해서 부가적으로 설명하자면,

수열에서 n이 무한대로 간다는 거는 n이 계속 늘고있는 상태를 표현한 것과 같은 맥락으로,

함수의 극한 정의에서 0 초과라 적은 것도 x가 a에 계속 가까이 다가가는 상태를 표현한 것이라 본다.

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상수함수

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덧셈

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상수곱

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곱셈

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뺄셈과 나눗셈은 덧셈과 곱셈의 역연산이니

상수를 음수로 보고 식을 바꾸고 이항시키면 되니까

덧셈과 곱셈으로 충분하다.

단, 나눗셈은 나누는 함수의 값이 범위 내에서 0이 되면 안된다.