등차수열과 등비수열의 합 Summation of arithmetic progression and geometric sequence

수열에 대해 알아봤으니 수열의 합에 대해서 알아볼 것이다.

수열 중에서 대표적인 것이

등차수열과 등비수열이므로,

이 두 수열에 대해 알아보도록 하겠다.

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등차수열은 수열의 항의 차이가 같은 수열이고,

등비수열은 수열의 항의 비가 같은 수열이다.

이런 식이다.

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등차수열의 합은 다음과 같이 유도할 수 있다.

a 는 초항이고, n은 항의 개수, d는 공차이다.

자연수 1에서 n 까지 더한다고하면,

초항이 1이고, 공차가 1, 항의 개수는 n 이므로,

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n + n(n-1)/2 = n(n+1)/2

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이게 합이된다.

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등비수열의 합은 다음과 같다.

등비는 1보다 클 경우 1보다 작은 경우로만 보겠다.

어차피 등비가 1이면, 항이 다 같기 때문에,

초항이 a이고, 항이 n 개이면, 합은 an이라 간단하다.

일단 등비가 양수인 경우만 보겠다.

r은 양수만 봤으므로 0보다 크다는 기호는 생략했다.

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공비가 음수일 때는 양수값, 음수값 모아서 계산하면 될 것이다.

복소수일 때는 실수부 허수부 모으고, 그 안에서 양수 음수를 모아서 계산하면 될 것이고 말이다.

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여기서 r의 절대값이 1보다 작을 경우에는 n을 무한대로 보낸다고 보면,

1 - r ^ n 은 1로 수렴함을 알 수 있다.

그래서 무한등비급수의 합은 등비급수의 합보다 간단한 형식으로 나타낼 수 있는데,

이렇게 된다.