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교육/수알못시리즈

삼각함수와 지수함수의 테일러 급수 Taylor series of trigonometric and exponential function

이전 포스트에서 테일러 급수에 대해 했었고,

삼각함수와 지수함수의 미분을 다뤘었다.

둘 다 임의의 실수에서 무한번 미분 가능하기 때문에

어느 실수에 대해서도 테일러 급수로 나타낼 수 있다.

아무래도 조금 더 간단하게 테일러 급수의 상수값을 0으로 하는 맥클로린 급수로 나타낼 것이다.

삼각함수와 지수함수를 무한한 다항식으로 나타내기 위해서

테일러 급수를 상기해보도록하자.

여기에 c=0 을 대입하면 맥클로린 급수가 된다는 얘기였다.

지수함수와 삼각함수에서 0이 되는 값을 보자.

그러면, 각 함수에 대해서

이런 식으로 나타낼 수 있다.

여기에 복소수를 넣도록 해보자.

예를 들어 ix 말이다.

이걸 넣게되면 지수함수가 삼각함수의 조합으로 나오는 걸 알 수 있다.

여기서 도출된 식은 복소수에 대해 얘기할 때 요긴하게 쓸 것이므로 잘 기억해두는 것이 좋다.

여기서 x = π 를 대입하면,

이런 식이 나온다.

지수함수가 음수가 나왔다.

지수함수가 실수 범위에선 음수가 나오지 않지만,

복소수 범위로 넓히니 음수가 나왔다.

이 사실은 지수함수의 지평을 넓히는 좋은 사실이다.

지수함수가 삼각함수와도 연관이 있게 되었으므로,

삼각함수의 지평을 넓히기도 한다.

그 외에도 그 동안 봐왔던 영역에서 새로운 영역으로 나아가는데 좋은 도구가 된다.