지수함수의 미분 Differential of exponential function

이전 포스트에서 e라는 상수에 대해 얘기했었다.

여기서 n 은 자연수였다.

그런데, n이 실수여도 무한대로 가는 건 마찬가지이니,

실수 범위에서 적용해도 결과는 같을 것이다.

그래서

이렇게도 가능하고,

1/r 은 0에 다가가므로,

이렇게도 표현할 수 있다.

이 형태를 잘 기억하기 바란다.

지수함수 미분시, 이런 형식을 만들어 치환시키면서 유도할 것이기 때문이다.

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지수함수란건 미지수 x가 있을 때,

이런 형식이다. a는 임의의 양의 실수로 하겠다.

0이나 음의 실수는 정의역에 따라 실수로 나타나지 않거나 정의할 수 없기 때문이다.

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그러면 상수 e 에 대해서도 지수함수를 만들 수 있을 것이다.

그리고 이 함수를 미분하도록 하겠다.

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일단 이 함수가 연속임을 알아보자.

e^x 는 e가 2와 3 사이에 있는 양수이므로,

정의역이 실수일 때, 정의역의 모든 원소에서 치역이 존재하며,

임의의 원소 x=c에서 전개하면,

e^x 의 극한이 존재하므로 e^x 는 일단 연속함수이다.

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이제, 도함수의 좌 우 극한이 일치하는지 보자.

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우선 0보다 큰 임의의 상수 c에서 e에 대한 로그 함수인 ln x 가 연속하는지를 보겠다.

0보다 큰 임의의 상수 c에 대해 ln(x) 가 연속함을 보였다.

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이를 이용하여 임의의 상수 c에 대한 도함수를 구해보자.

실수인 임의의 상수 c에 대해서 보면,

c에서 미지수 x를 붙이면 e^x이고,

이 함수는 위에서 봤듯이 모든 실수에서 연속이므로,

e^x의 도함수는 e^x라고 할 수 있다.

e^x를 보니, 미분을 해도 같은 결과가 나온다는 것을 알 수 있다.

그렇기 때문에 미적분과 관련해서 많이 이용되는 함수이다.

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마저 지수함수에 대한 미분을 알아보자

이렇게 된다.