삼각함수의 덧셈 합성 Additive synthesis of trigonometric functions

삼각 함수가 있을 때,

각들을 합성했을 때 값을 각 값들의 삼각함수로써 알 수 있으면 계산이 편해질 것이다.

예를 들면, sin (a+b) 를 sin a, sin b, cos a , cos b 의 연산으로 구성시키는 일 말이다.

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일단 단위원에서의 좌표를 생각해보자.

단위원이란 건 반지름이 1인 원이니까,

원 위의 좌표는 삼각함수로 나타낼 수 있을 것이다.

좌표에서 각을 정하는 기준은 위의 그림과 같다.

원점에서 단위 원 위의 임의의 점 두 개에 선을 그어서 삼각형을 만들 수 있을 것이다.

이런 식으로 말이다. 그림이 좀 허접하긴 하다.

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단위원 내 삼각형의 점은 각각 A ( cos a, sin a ), B ( cos b, sin b ) 와 원점 O로 나타낼 수 있다.

선분 OA 는 좌표 가로축 a 만큼의 각도를 이루고,

선분 OB 는 좌표 가루축과 b 만큼의 각도를 이루고 있다.

이런 사실을 바탕으로 삼각형의 제 2 코사인 법칙을 적용하도록 하겠다.

선분 AB 길이를 d라고 하고,

원 점에서 단위원으로 그은 선분의 길이는 1이며,

이 두 선분의 각도 차이는 ㅣa - b ㅣ만큼 난다.

두 각이 서로 떨어져있으니, +, - 기준이 정해져 있는 상황에서는

단순하게 떨어진 정도는 뺄셈으로 표현한다 생각하면 된다.

이런 사실을 좀 전에 말한 법칙에 적용시키면, 다음과 같이 된다.

이렇게 코사인 함수에 대한 합성이 끝났다.

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벡터의 내적으로 유도하는 방법이 있는데,

이건 조금 더 간단하다.

이걸 바탕으로 a+b 를 코사인 한 거나

사인 함수에 대해서도 유도할 수 있다.

사인함수나 코사인 함수나 단위원의 값으로 만들어진 함수이므로,

두 함수는 서로의 평행이동 된 결과라고 봐도 된다.

코사인 함수를 양으로 π/2 만큼 평행이동 시킨게 사인 함수이므로,

이렇다.

a+b = a - (-b) 이므로 b자리에 -b를 넣으면 되고,

사인 함수는 기함수 ( f( - x) = - f(x) )이므로,

+ 를 - 로 , - 를 +로 바꾸면 된다.

이런 식으로 말이다.

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다른 삼각 함수들도 있지만, 사인과 코사인 함수를 조합하여 계산하는 함수이므로,

사인 코사인 결과에서 유도하면 된다.

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정리하면,

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sin ( a+b ) = sin(a) cos ( b) + cos(a) sin(b)

sin ( a-b ) = sin(a) cos (b) - cos(a) sin(b)

cos ( a+b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)

cos ( a-b ) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

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이렇게 된다.

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여기서 탄젠트 함수에 대해서만 적용하면,

이렇게 된다.