테일러 급수 Taylor series

테일러라는 사람이 착안한 급수라서 테일러 급수라 이름 짓는 것 같은데,

여러 가지로 많이 사용되는 것이라 소개한다.

어떤 함수를 무한한 다항함수로 만들면 어떨까하는 발상에서 생겨난 급수로 보인다.

다항함수의 미분에 대해 좀 뒤에 간단히 다뤄볼 것이지만,

유한한 다항함수는 미분을 유한번 밖에 못한다.

그렇다면 테일러 급수로 다룰 함수는 무한히 미분이 가능한 함수여야 할 것이다.

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우선 다항함수의 미분을 간단히 알아보자.

x 의 n 승을 미분하면, x의 n-1 승에 n을 곱한 형식이다.

한 번 여러 번 미분해보도록 하자.

x 의 n 승을 k 번 ( k =< n ) 미분하면, 빨간색 네모와 같이 된다.

즉, x 의 n 승은 n번까지 미분 가능하다.

k = n 일 때, n! 이라는 상수가 되고,

이걸 미분하면 0 이기 때문이다.

이렇게 다항함수의 미분에 대해 알아보았고,

본격적으로 테일러 급수를 알아보자.

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영역 S 안에 c가 있어 c에서 무한번 미분 가능한 함수 f : S -> R 이 있다고 하자.

이 때, f 를 무한한 다항함수로 나타낼 수 있다면, 식은 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

이 식을 한 번 미분해보자.

상수는 0으로 가므로, k는 1부터 시작한다.

여기서 x = c 라고 하면, 상수항을 제외하고 0이 될 것이다.

그러므로 상수항인 a_1은

이렇게 된다.

이런 식으로 n 번 미분하도록 하자.

여기서 a_n 을 구할 수 있다.

따라서 위에 적었던 무한한 항을 가진 다항식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 c = 0 이 되면 매클로린 급수라고 한다.

이런 식으로 함수를 무한한 다항식으로 만들면,

함수 값 근사에 좋은 도구가 될 수 있다.

그 이외에도 여러모로 쓸 일이 많으므로 알아두면 좋다.