삼각함수의 미분 Differential of trigonometric function

삼각함수라면 sin(x), cos(x) 가 있다.

이들을 어떻게 미분할 지를 생각해보도록 하겠다.

이 두 함수를 생각하는 건 삼각함수의 기본이기 때문이다.

다른 삼각함수는 두 함수의 조합이라 이 두 삼각함수 미분만 알면,

함수 미분의 원리로 구할 수 있다.

심지어 이 두 함수는 서로를 평행이동 시켜서 생겨난 것이라

하나만 생각해도 될 일이다.

코사인을 기준으로 하든 사인을 기준으로 하든 관계없지만,

일단 사인 함수를 기준으로 잡고 생각해보도록 하겠다.

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우선 한 가지 사실을 파악하고 가보자.

이 사실은 이후의 논증에 매우 도움이 되는 사실이기 때문이다.

sin(x)/ x 의 0으로의 극한 값을 살펴보자.

이렇게 극한이 밝혀졌고,

x>0 일 때는 sin(x) < x 임도 파악이 되었다.

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미분이 되는 함수면 우선 연속함수가 되어야 한다.

사인 함수는 실수 정의역에서 전부 함수값을 가지는 함수이다.

그러면 임의의 정의역에서 사인 함수가 극한이 존재하는 지를 알아보자.

임의의 정의역 원소 a 에서 sin 함수의 극한이 있음을 보였다.

따라서 사인 함수는 연속함수임을 알 수 있다.

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sin 함수의 도함수를 보도록 하자.

코사인 함수도 사인 함수를 평행이동 한 것이므로 연속함수이다.

도함수가 연속이므로, 사인 함수는 모든 실수에서 미분 가능한 함수이다.

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코사인 함수를 미분하면

이런 식으로 나온다.

사인과 코사인은 미분하면 서로의 형태로 나온다.

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미분은 다음과 같이 순환된다.

사인, 코사인 함수는 4번하면 각자 자신이 되는 함수임을 알 수 있다.

부정 적분은 미분의 역연산이므로, 반대방향으로 순환하면 되겠다.

단, 부정 적분할 때는 상수 붙이는 걸 잊으면 안되겠다.

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이렇게 삼각함수에 대한 미분에 대해 얘기했다.