무한의 크기 Magnitude of Infinity

이전 포스트에서 무한에 대해 얘기했었다.

대표적인 무한 집합으로 자연수를 얘기했는데,

과연 자연수 집합의 크기보다 큰 집합이 있는지 궁금하다.

 

그래서 자연수보다 더 큰 집합인

정수, 유리수, 실수의 크기를 알아보도록하자.

 

정수는 Z, 유리수는 Q, 실수는 R로 놓고 앞으로 얘기를 전개해보겠다.

 

먼저 집합 Z 부터 보자.

자연수 집합 N과 Z를 함수관계로 만들때,

일대일 대응이 존재하면, 둘의 집합 크기는 같을 것이다.

N은 Z의 진부분집합이고,

N이 무한집합이므로 Z도 무한집합일 것이다.

둘 다 무한집합이므로,

f : Z -> N 에서 일대일 대응인 f가 존재할 것이라는 말도 할 수 있을 것이다.

만약에 존재하면,

두 집합을 대등하다 볼 수 있을 것이다.

 

f

Z     N

0 -->1

-1--->2

1--->3

-2--->4

2--->5

.

.

.

 

f(x) = 2x+1 (x>=0)

    = -2x     (x<0)

(x는 Z의 원소)

 

이런 조건으로 함수를 만든다고 하면,

Z의 모든 원소는 충분히 N의 모든 원소와 일대일 대응관계를 만들 수 있을 것이다.

그래서, N~Z ( N과 Z는 대등관계) 이며,

N과 Z의 크기는 같다.

정수와 같이 자연수의 크기와 같은 집합을

 가산집합(countable set)이라고 한다.

수를 세는 방법을 쓸 수 있는 집합이라는 뜻이다.

 

 

이번엔 Q에 대해 알아보자

N은 Q의 진부분집합고,

N이 무한집합이니 Q도 무한집합이다.

Q의 원소는 a/b (a,b 정수)로 표현할 수 있으므로,

Z x Z 로 표현할 수 있겠다.

f : Z x Z -> Q 가 일대일 대응이 되는 f 가 존재

그러므로, Q ~ Z x Z 이다.

 

X~Y, Z~W 가 있을 때,

X~Y 는 f : X->Y 가 일대일 대응 f가 존재한다는 의미고,

Z~W는 g : Z ->W 가 일대일 대응 g가 존재한다는 의미이다.

f x g : X x Z -> Y x W 가 있다고 하자.

(f x g) ( x, z) = ( f(x), g(z)) 로 표현할 수 있다.

(f x g) ( x, z)=(f x g)( u, v)은

( f(x), g(z) ) = ( f(u), g(v) ) 라는 뜻이고,

f(x) = f(u), g(z) = g(v)라는 뜻이다.

f, g는 일대일 대응이라고 하면,

x=u, z=v 가 성립된다.

f x g 는 적어도 일대일 함수이다.

 

I(f) x I(g) : Y x W -> X x Z 인 경우에도 

( I(f) x I(g) )(y,w) = ( I(f)(y) , I(g)(w) ) 이렇게 표현할 수 있는데,

앞 부분과 똑같이 적용해서

I(f) x I(g) 가 일대일 함수임을 보일 수 있다.

I(f) 와 I(g)도 일대일 대응이기 때문이다.

 

즉, X x Z 와 Y x W 사이에 일대일 대응임을 보인 것이고,

X x Z ~ Y x W 임을 보인 것이다.

 

따라서, Z~N 이므로, 

Z x Z ~ N x N 가 성립한다.

그러므로, Q ~ N x N 이 성립한다.

 

그러면, f : Q -> N 관계보다,

g : N x N -> N 을 파악해서 

유리수와 자연수가 대등함을 보이면 되겠다.

g ( n, m ) = (p^n)(q^m) 

(p,q 는 서로 다른 소수(prime number))

 

이렇게 식을 세우면,

임의의 자연수 n, m에 대해,

g( n, m) 은 N의 원소가 된다.

즉, g는 일대일 함수가 된다.

 

h : N -> N x N 에서

h(n) = (n, 1) 이렇게 식을 세우면,

h(n)은 N x N 원소가 된다.

즉, h는 일대일 함수가 된다.

 

즉, N x N과 N은 대등하다는 뜻이다.

 

따라서, 유리수와 자연수는 대등하고,

유리수도 가산집합이 된다.

 

 

 

실수에 대해서는 어떨까?

우선 실수의 구성을 살펴본 후에

실수 집합과 자연수 집합의 관계를 파악하도록 하겠다.

 

실수는 유리수와 무리수로 이루어져있다.

어떤 무리수 r이 있을 때,

r은 분수꼴로 나타낼 수 없으므로,

유리수 q/p와 q'/p 사이에 있다고 할 수 있다.

p는 편의상 1보다 큰 임의의 자연수라하고,

 q는 정수라고 하겠다.

여기서 q'는 q+1을 의미한다.

 

여기서 q/p < s/(p^2) < q'/p 라고 하면,

q'/p = (q+1)/p = (qp+p)/(p^2) 이고, 

s'/(p^2)=s/(p^2)+1/(p^2) 인데,

s/(p^2) 가 될 수 있는 s의 최대값은

s = qp+p-1 일 것이다.

그래서 s'/(p^2)의 최대값은 q'/p가 될 것이다.

 

무리수 r은 s/(p^2)와 s'/(p^2) 사이에 있다고 하면,

q/p와 q'/p 사이 구간의 부분 구간에 있다고 할 수 있다.

 

임의의 자연수 n에 대해,

무리수 r이 t/(p^n)과 t'/(p^n) 사이에 있다고 할 때,

t/(p^n)< u/(p^(n+1)) < t'/(p^n)가 있다면,

u는 tp와 tp+p 사이에 있는 자연수가 될 것이다.

u의 최대값은 tp+p-1이 될 것이고,

무리수 r이 u/(p^(n+1)) 과 u'/(p^(n+1)) 사이에 있다면,

 t/(p^n)과 t'/(p^n) 사이의 부분 구간에 있다고 할 수 있다.

 

이처럼 계속 분모에 p를 곱해가면서 무리수 r이 있는 구간을 계속 좁힐 수 있다.

하지만, r을 유리수로 나타낼 수 없기 때문에

분모가 p의 승수로 된 유리수를 계속 더해나가는 방식으로 나타낼 수 밖에 없을 것이다.

 

r = a + b/p + c/(p^2) + ... + m/(p^n) + ...

 

(a는 정수이고, b, c, ..., m, ... 은 자연수이다. )

 

이런 식으로 말이다.

 

실수의 구조를 알았으니,

자연수와 실수와의 관계를 파악하기 위해,

실수 R의 부분 집합 S를

S={ r ㅣ 0< r < 1 인 실수}

이렇게 정해보겠다.

 

자연수와 S의 임의의 대응을 만들어 보도록 하겠다.

 

f

N                                                 S

 1   -->    a(1,1)/p + ... + a(1,n)/(p^n) +...

.

.

.

n   -->   a(n,1)/p + ... + a(n,n)/(p^n) +...

.

.

.

 

 

r = z(1)/p + ... + z(n)/(p^n) + ...

 

위와 같은 실수 r 이 있어,

z( i ) 은 a( i, i ) 와 다른 수라고 하자.

i는 모든 자연수를 넣을 수 있다.

 

z(1) 은 a(1,1)과 다른 수이므로,

r과 f(1)은 다른 수이고,

z(n)은 a(n,n)과 다른 수이므로

r은 f(n)과도 다른 수라고 할 수 있다.

 

즉, 임의의 자연수 i에 대해서,

r과 f(i)는 다른 수이다.

 

N과 S가 일대일 함수이긴 하지만,

일대일 대응이 아니므로

S는 N보다 큰 집합이라고 할 수 있다.

S는 실수 집합 R의 부분집합이므로,

실수 집합의 크기는 자연수 집합의 크기보다 크다고 할 수 있다.

실수 집합은 가산 집합 ( countable set ) 이 아닌 것이다.

 

자연수와 실수가 같은 무한집합이긴 하지만

크기가 다른 것을 보면,

무한에도 레벨 차이가 있음을 알 수 있다.

 

실수 집합의 크기와 자연수 집합의 크기는 기회가 되면 알아보도록 하자.