무리수, 실수 그리고 더 큰 체계 Irrational number, real number and the greater system

이전 포스트에서 거듭제곱에 대해 얘기했다.

여기서 a^(x/y)가 유리수일지에 의문만 던지고 갔는데,

여기에 대해 알아보자.

 

우선 a,x,y가 자연수일 때부터 생각해보자.

 

임의의 자연수에 대해서 소수의 조합으로 나타낼 수 있다고

앞에서 얘기했었다.

 

N=(p(1)^(n(1))*...*(p(m)^(n(m)))

p(i) (i는 1에서 m까지의 자연수) 는 소수

n(i)는 자연수

 

N^k = (p(1)^(k*n(1)))*...*(p(m)^(k*n(m))) (k는 1이 아닌 자연수)

자연수의 k제곱은 소수(prime number)의 k배수 제곱의 곱으로 이루어져 있다.

 

그럼 소수 p를 보자

p=(p^(1/k))^k (k은 자연수) 로 나타낼 수 있다.

p^(1/k)=a/b (a,b는 서로소)라고 가정해보자.

유리수라고 가정해본 것이다.

서로소라는 건 a,b 두 자연수의 1 외에 공약수가 없다는 의미이다.

양변을 k제곱하면,

p=(a^k)/(b^k)

이렇게 될 것이다.

a^k=(b^k)*p 가 될 것이다.

a^k는 자연수이고, p의 배수이다.

a^k가 p의 배수라는 얘기는 p^k의 배수라는 얘기이다.

 

자연수의 k제곱은 소수(prime number)의 k배수 제곱의 곱으로 이루어져 있다.

 

이 문구를 잘 생각해보라.

k는 1이 아닌 자연수이므로, 1보다 크므로

k-1은 자연수가 된다.

a^k=(p^k)*(c^k) 라고 하자.

b^k=(p^(k-1))*(c^k) 이다.

b^k는 p^(k-1)의 배수, b^k는 p^k의 배수라는 얘기이다.

위에 있는 문구를 잘 생각해보라

b^k=(p^k)*(d^k)라고 하자.

a=(a^k)^(1/k), b=(b^k)^(1/k)

a=pc, b=pd가 된다.

위에 가정에서 p^(1/k)=a/b, a,b는 서로소라고 했는데,

도출해서 나온 결과는 a,b 공약수가 1외에 p라는 수가 있다는 점이다.

가정과 서로 모순된 결과가 나왔으므로,

p^(1/k)는 유리수라는 가정은 틀린 가정이 되어버린다.

새로운 집합을 만들어야한다.

 

자연수 a<b일 때,

a^2<ab<b^2 이다.

즉 a^2<b^2.

이를 더 발전시키면, a^k<b^k (k는 자연수).

이 논리를 발전시켜 더 넓은 영역에서 적용해보자.

소수 p에 대해

n^k < p < m^k 이 있다고 하자.

p=(p^(1/k))^k

그러면,

n < p^(1/k) < m 가 된다.

 

예를 들어 2^(1/2)가 있을 때,

1^2 < 2 < 2^2 이므로,

2^(1/2)은

1< 2^(1/2) < 2

1과 2 사이에 있는 무리수가 된다.

2는 소수이고, 2는 1보다 큰 자연수이기 때문이다.

위 증명에 p=2, k=2를 대입해보라.

 

a/b (a,b는 서로소) 꼴로 나타낼 수 없는 수를 

무리수(irrational number)라고 하고

유리수와 무리수를 합쳐 실수 (real number)라고 한다.

 

실수도 서로 순서 비교를 할 수 있기는 하지만,

자연수, 정수, 유리수 편에서 밝혔던 덧셈 법칙들을 이끌어낼 수가 없다.

그래서 실수에서의 연산은 유리수 연산에 있는 법칙을 공리로써 놓으면,

유리수와의 연동되는 모델이 만들어질 것이다.

그래서 수학에선 실수에서 덧셈, 곱셈 법칙이 성립한다는 사실을 공리로 놓고

실수 연산에 대해 얘기하도록 한다.

 

실수 r>0이 있다고 하자.

이 때, -r<0 이다.

(-r)^2=r^2 > 0 이다.

r=0이면, r^2=0*0=0이다.

 

임의의 실수 r에 대해 r^2은 0보다 크거나 같다.

 

그러면, a^2<0 인 수는 어떻게 나타낼 것인지가 또 하나의 문제이다.

실수 제곱의 집합은 0이 최소값이다.

임의의 실수 r,s가 0보다 클 때,

0-> r^2 -> s^2

    ->(-r)^2->(-s)^2

작은 순서대로 배열해도 0에서 되돌아가는 구조이다.

그래서 a는 실수 순서 사이에 들어갈 수도 없다.

그러면, a를 담을 새로운 체계를 만들 수 밖에 없을 것이다.

-1=i^2

인 새로운 수 i를 만들어보자.

a^2=-b^2라고 해보자. (b는 실수)

그러면, a^2=(-1)* b^2 =i^2*b^2

a=ib=bi 가 된다.

이런 수를 허수( imaginary number)라고 한다.

허수를 ib (b를 실수)로 나타낼 수 있는데,

b=0이면, (ib)^2= -b^2=0이므로,

ib=0이 되어야 한다.

그러면, 실수와 허수의 교집합은 0이 된다.

 

실수와 허수는 기본연산체계에 대한 결합을 보면,

곱셈은 비율에 관한 것이기 때문에,

하나의 항으로 나타낼 수 있지만,

덧셈은 이동에 관한 것이라서

순서 비교가 안되는 두 집합에 관해서는

하나의 항으로 나타낼 수가 없다.

 

실수 r,s가 있다고 하면,

r*(is)=irs

이렇게 하나의 항으로 나타낼 수 있다.

곱셈으로 결합하면, 허수가 되고,

허수끼리 곱하면 실수가 된다.

(ir)*(is)=-rs

 

덧셈의 대한 결합은

r+is

이런 식으로 된다.

실수와 허수가 서로 비교가 되지 않기 때문에

둘의 결합이 하나의 항으로 표현되지 않는다.

 

r, s가 모두 0이 아닌 실수 일 때,

허수도 실수도 아닌 다른 체계의 수가 된다.

r+is 가 r,s가 0을 포함한 모든 실수라고 할 때,

r+is 는 실수도 되고, 허수도 되고

그 외의 수도 된다.

세 가지 유형을 모두 포함하므로

저런 수를 복소수( complex number)라고 한다.

덧셈은 실수부는 실수부끼리 허수부는 허수부끼리 해야 한다.

실수와 허수는 서로 간에 순서를 정할 수 없기 때문이다.

각 부분에서 순서만큼 이동해야 한다는 뜻이다.

a,b,c,d가 실수일 때,

(a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d)

이런 식으로 계산하란 뜻이다.

 

이 외에도 여러 유형의 수를 만들어낼 수 있겠지만,

필자가 현재 알고있는 범위가 아니라

여기서 그치겠다.

수체계는 복소수 ( complex number )에서 마치겠다.