거듭제곱 Exponentiation

같은 수를 여러번 더했을 때,

곱셈을 쓰지 않았는가?

같은 수를 여러번 곱하면 어떻게 표현할 것인가?

이 때 거듭 제곱을 쓸 것이다.

 

규칙은 일단, 유리수 a, 자연수 n에 대해

1. a^1=a (한 번 곱했으니 자기 자신이 되는건 당연하다.)

2. a^n'=(a^n)*a (*를 곱셈 기호로 쓰겠다.)

 

여기에서 확장을 해보자.

a^0'=a^1=(a^0)*a=a

1*a=a 이므로, a^0=1 이어야 한다.

여기에서 더 확장하면,

a^0=(a^(-1))*a=1

a^(-1)=1/a 가 된다.

a^(-k)=1/(a^k)라고하자

a^(-k)=(a^(-k'))*a

1/(a^k)=(a^(-k'))*a

(1/(a^k)*(1/a)=(a^(-k'))

1/((a^k)*a)=(a^(-k'))

1/(a^k')=a^(-k')

 

모든 자연수 n에 대해,

a^(-n)=1/(a^n)

 

1/(a^(-n))=1/(1/(a^n))=(1/1)/(1/(a^n))

=a^n=a^(-(-n))

 

즉, 모든 정수 p에 대해

 a^(-p)=1/(a^p)

 

a^(b+c)에 대해 생각해보자.

a는 유리수, b는 정수, c는 자연수라고 하자.

일단 a^(b+1)=a^b x a= a^b x a^1

a^(b+k) = a^b x a^k 라고 하자.

a^(b+k')=a^(b+k)'=a^(b+k) x a^1

=(a^b x a^k) x a^1

=a^b x ( a^k x a^1)

=a^b x a^k'

 

따라서 임의의 자연수 c에 대해

a^(b+c) = a^b x a^c

 

a^(b+(-c))에 대해 생각해보자.

(a^(b+(-1)))*a=a^b

a^(b+(-1))=(a^b)/a=a^b x 1/a=a^b x a^(-1)

a^(b+(-k))=a^b x a^(-k) 라고 하자.

(a^(b+(-k')))*a=a^(b+(-k))=a^b x a^(-k)

a^(b+(-k'))=(a^b x a^(-k))/a

=(a^b x a^(-k)) x a^(-1)

=a^b x (a^(-k) x a^(-1))

=a^b x a ^ ( -k + (-1))

=a^b x a^(-k')

 

임의의 정수 x, y 에 대해

a^(x+y) = a^x * a^y

 

(a^b)^c 에 대해 생각해보자

(a^b)^1=a^b

=a^(b x 1)

(a^b)^k = a^bk (k는 자연수) 라고 하자.

(a^b)^k'=(a^b)^k x a^b

=a^bk x a^b

=a^(bk+b)

=a^bk'

 

즉, 임의의 자연수 b,c에 대해

(a^b)^c=a^bc

 

(a^b)^(-c)=1/((a^b)^c)

=1/(a^bc)=a^(-bc)

 

정수 x,y에 대해서도

(a^x)^y=a^xy

 

임의의 정수 x,y 에 대해서

a^x = a^((x/y)*y)=(a^(x/y))^y

가 될 것인데,

a^(x/y) 부분은 어떻게 표현할 수 있으며,

유리수에 속하는 수인지 궁금하다.

여기에 대해서는 차후에 다루도록 하겠다.