정수의 덧셈과 곱셈 Addition and multiplication about integer

이전 포스트에서 '-' 기호와

뺄셈, 정수에 대해 얘기했고,

덧셈의 성질과 '-' 기호를 이용해

임의의 자연수 n에 대해,

0과 S(n)의 순서를 확장시킬 수 있는지 보았다.

 

이전 포스트에서도 언급했듯이

정수가 자연수를 포함하는 집합이고,

자연수와 일관된 구조의 순서이면,

임의의 정수 x에 대해서

 

...<x<x'<...

 

이런 식으로 정렬할 수 있을 것이다.

이전 포스트에서는 그 예를 보여줬다.

0'=1, (S(1))'=0

이렇게 말이다.

 

임의의 정수 x,y에 대해서도, 임의의 자연수 n에 대해,

x+n = y 이면, x<y 가 성립한다.

 

자연수의 덧셈 성질과 뺄셈을 이용해 정수의 정렬을 할 수 있으므로, 

정수에 대해서도 자연수 덧셈 규칙을 확장, 적용할 수 있을 것이다.

 

 자연수 덧셈을 다시 언급하면,

임의의 자연수 n에 대해서,

n+1=n'

 

임의의 자연수 n,m에 대해서,

n+m'=(n+m)'

 

이런 식이다.

 

이 규칙의 자연수 n,m에 정수를 넣어서

자연수와 일관성있게 돌아가는지 보자.

 

임의의 정수 x,y에 대해서

 

1. 임의의 정수 x 에 대해, x+1=x'

2. 임의의 정수 x, y 에 대해 x+y'=(x+y)'

 

1번의 결과는 임의 정수 그 다음 수이니, 당연히 정수이다.

2번의 결과는 x+1이 정수다. 그리고, x+y가 정수일 때,

(x+y)'=x+y'가 x+y 다음 수이므로, 정수가 된다.

즉, 정수의 덧셈의 결과는 정수가 된다는 뜻이다.

 

결합법칙부터 알아보자.

x+(y+z)=(x+y)+z 에서 z=1일 때,

x+y' = x+(y+1) = (x+y)' = (x+y)+1

이렇게 되므로, 결합법칙이 성립된다.

 

임의의 z=t라고 할 때, 성립한다고 하면,

x+(y+t)=(x+y)+t

z=t'일 때를 보자.

x+(y+t')=x+(y+t)'=(x+(y+t))'=((x+y)+t)'

=(x+y)+t'

이렇게 된다.

 

따라서, 임의의 정수 x,y,z에 대해 결합법칙이 성립한다.

x+(y+z)=(x+y)+z

 

교환 법칙은 어떨까?

1+1=1'=1+1

k+1=1+k 라고 하자.

k'+1=(k+1)+1=(1+k)+1=1+(k+1)=1+k'

 

즉, 임의의 정수 x에 대해서,

x+1=1+x

 

임의의 정수 k에 대해,

x+k=k+x 라 할 때,

x+k' = x+(k+1) = x+(1+k) = (x+1)+k = (1+x)+k

= 1+(x+k) = 1+(k+x) = (1+k)+x = (k+1)+x = k'+x

 

임의의 정수 x,y에 대해서

x+y=y+x

 

정수에 대해서 덧셈의 결합, 교환 법칙이 성립됨을 알 수 있다.

 

임의의 정수 x,y,z에 대해서

x+z=y+z =>x=y

 

x+1=x'=y+1=y' 이니까 공리 8번에 의해 x=y

임의의 정수 k에 대해, x+k=y+k => x=y 일 때,

x+k'=y+k' = x+(k+1)=y+(k+1)

=(x+k)+1=(y+k)+1=> x+k=y+k => x=y

 

위 정리가 성립됨을 알 수 있다.

 

자연수 규칙에 정수를 넣었을 때

 결합법칙, 교환법칙, 소거법칙이 정수에서도 성립됨을 보였으므로,

 

임의의 정수 x,y에 대해서

 

1. 임의의 정수 x 에 대해, x+1=x'

2. 임의의 정수 x, y 에 대해 x+y'=(x+y)'

 

이 규칙은 자연수 규칙과 일관성이 있다 할 수 있겠다.

 

여기에서 몇 가지 사실을 도출해보도록 하자.

 

이렇게 정할 때,

1번 규칙에서

x=0일 때, 0+1=0'=1

이렇게 되고,

2번 규칙에서

y=0일 때, x+0'=(x+0)'=x+1=x'

정수에도 자연수의 규칙 8번과 같은 논리가 들어가므로

임의의 정수 x에 대해서, x+0=x 가 된다.

 

2번 규칙에서

S(1)에 대해 생각하면,

(S(1))'=0=S(0)

1+0=1 이다.

그렇다면, 1+(S(1))'=1=(1+S(1))'

0'=1이었으므로,

1+S(1)=0

이런 결과가 나온다.

 

임의의 자연수 k에 대해,

k+S(k)=0 이라고 하자.

S(k)부터 전개해보도록 하자.

S(k)=(S(k'))'=S(k)+0=S(k)+(S(1))'=(S(k)+S(1))'

S(k')=S(k)+S(1)

k'+S(k')=(k+1)+(S(k)+S(1))

정수의 교환법칙, 결합법칙이 성립하므로

k'+S(k')=(k+1)+(S(1)+S(k))

=((k+(1+S(1)))+S(k)

=(k+0)+S(k)=k+S(k)=0

 

임의의 자연수 n에 대해,

n+S(n)=0 이 성립된다.

 

이전 포스트에서 임의의 자연수 n에 대해

n-n=0 이 성립한다고 했으므로,

n+S(n)=n-n=0

이 된다.

즉, S(n)을 더한다는 것은 n을 뺀다는 얘기가 된다. 

 

또한, 0+S(n)=S(n)+0=S(n)

=0-n

즉, S(n)=0-n 이 된다.

 

위의 식 S(k')=S(k)+S(1) (k는 자연수) 에서 식을 발전시켜보자.

S(k+l)=S(k)+S(l) 이라고 하자.

S((k+l)')=S(k+l')

=S(k+l)+S(1)

=(S(k)+S(l))+S(1)

=S(k)+(S(l)+S(1))

=S(k)+S(l')

 

모든 자연수에 대해 S(n+m)=S(n)+S(m) 이 된다.

 

S(n+m)=S(n)+S(m)

0-(n+m)=(0-n)+(0-m)

=(0-n)-m

 

 

 

 

이제 곱셈 규칙에 대해 생각해보자.

 

자연수의 곱셈법칙은

1. n x 1 = n

2. n x m' = n x m +n

 

여기에 정수를 넣어서 적용해보고,

자연수와 일관성이 있는지 알아보자.

 

임의의 정수 p, q에 대해서,

1. p x 1 = p

2. p x q' = p x q + p

 

이렇게 될 것이다.

p x 1 = p로 정수이고, p x q가 정수일 때,

정수 덧셈의 결과가 정수가 되므로,

p x q + p 도 정수가 된다.

즉, 정수의 곱셈의 결과는 정수가 된다는 뜻이다.

 

이렇게 해서

분배법칙이 성립되는지 보자.

 

p(q+r) = pq+pr

 

r=1 일 때,

p(q+1)=pq'=pq+p

=pq+p x 1

 

r=t (t는 임의의 정수)일 때,

p(q+t)=pq+pt 라고 할 때,

 

r=t' 일 때,

p(q+t')=p(q+t)'

=p(q+t)+p

=(pq+pt)+p

=pq+(pt+p)

=pq+pt'

 

p(q+r) = pq+pr 이 모든 정수에서 성립합을 보였다.

 

 

 

교환법칙이 성립하는지 보자.

 

pq=qp

 

p=1, q=1 일 때,

1 x 1 = 1 = 1 x 1로 교환법칙이 성립한다.

 

임의의 정수 k 에 대해, k x 1 = 1 x k 라고 하자.

 

k' x 1 = k'= k+1

= k x 1 + 1

 = 1 x k +1

= 1 x k + 1 x 1

= 1 x ( k + 1 )

=1 x k'

 

임의의 정수 p에 대해, 1 x p=p x 1

 

임의의 정수 k에 대해,

pk = kp 라고 하자.

pk'=pk+p

=kp+p

 

여기서 위에 전개한

k' x 1 = k x 1 + 1 을 가져와보자.

임의의 정수 l 에 대해, k'l = kl+l 이라고 하자.

k'l'=k'l+k'=(kl+l)+(k+1)

=(kl+l)+(1+k)

=((kl+l)+1)+k

=(kl+(l+1))+k

=(kl+l')+k

=kl+(l'+k)

=kl+(k+l')

=(kl+k)+l'

=kl'+l'

 

임의의 정수 p에 대해,

k'p=kp+p

 

pk'=kp+p=k'p

 

따라서, 임의의 정수 p,q에 대해,

pq=qp

교환법칙이 성립됨을 보였다.

 

 

결합법칙에 대해 보겠다.

 

(pq) x 1 = pq = p (q x 1)

 

임의의 정수 r에 대해, (pq)r=p(qr) 이라고 하자.

 

(pq)r'=(pq)r+pq

=p(qr)+pq

=p(qr+q)

=p(qr')

 

모든 정수에 대해 (pq)t=p(qt)

 

정수의 곱에 대해 자연수와 동일한 규칙을 적용해서,

분배법칙, 교환법칙, 결합법칙이 성립됨을 보였다.

 

규칙 1에서 p x 1 = p,

규칙 2 에서 pq'=pq+p 라고 했으므로,

q=0을 적용시켜보자.

 

p x 0' = p x 0 + p

0'=1이고,

p x 1 = p 이므로,

p = p x 0 + p

=p + p x 0 = p x 0 + p

=p + 0 = 0 + p

 

p x 0 + p = 0 + p 에서 p를 소거하면,

임의의 정수 p에 대해, p x 0 = 0가 된다.

 

그렇기 때문에 정수에서는 소거 법칙이 적용되지 않는다.

 

정수 pq에서 q<0인 경우를 보자.

p는 자연수라고 하자.

 

p(S(1))'=p x 0 =0 = p(S(1))+p

여기에서 p를 소거하면,

0-p=S(p)=p(S(1))=(S(1))p

 

임의의 자연수 k에 대해,

(S(k'))'=(S(k)) 이므로,

p(S(k))=p(S(k'))'=p(S(k'))+p

양변에 p를 소거하면,

p(S(k))-p=p(S(k'))

( '-'로 소거할 수 있음을 이전 포스트에서 보았다.)

이것을 p(S(k))+S(p)=p(S(k')) 로 표현할 수 있다.

 

S(p)=p(S(1))이므로,

위 식을

p(S(k))+p(S(1))=p(S(k'))

p(S(k)+S(1))=p(S(k'))

이렇게 표현할 수 있다.

 

S(k+m)=S(k)+S(m) 이므로,

p(S(k+m))=p(S(k)+S(m))=p(S(k))+p(S(m)) 이다.

 

0-p=p(S(1))=(S(1))p=S(p)에서

정수 q가 있어

p(S(q))=p(q(S(1))

=(pq)S(1)

=S(pq)=0-pq

 

정수 p,k,m이 있다고 하자.

p(S(k+m))=S(p(k+m))

=S(pk+pm)=S(pk)+S(pm)

=0-(pk+pm)=(0-pk)-pm

 

임의의 정수 t가 있다고 할 때,

t+p(S(k+m))= t+S(p(k+m)) =t-p(k+m)

= t+S(pk+pm)=t-(pk+pm)

=t+(S(pk)+S(pm))=t+(S(pk)-pm)

=(t+S(pk))+S(pm)=(t-pk)-pm

=(t+S(pk))-pm

 

임의의 정수 p,q,r,s 에서

p-(q+r)=(p-q)-r

(p+q)-r=p+(q-r)

p-s(q+r)=p-(sq+sr)

뺄셈의 결합이 이런 식으로 이루어진다는 사실을 알 수 있다.

 

이전 포스트에서

자연수 a, b에 대해

S(a-b)=b-a 라고 했다.

S(S(a-b))=S(b-a)=a-b

두 번 바꾸면 제자리로 돌아간다는 사실도 밝혔었다.

자연수에서 적용되는 규칙을 정수에도 일관성있게 적용시키려면,

S(a-b)=b-a=(S(1))(a-b)

S(b-a)=a-b=(S(1))(b-a)

이렇게 되야 할 것이다.

 

임의의 정수 q에서, S(q)=0-q가 된다.

S(q)=(S(1))q 가 되어야 한다는 얘기고,

 

S(S(a-b))=a-b=S((S(1))(a-b))=(S(1))((S(1))(a-b))

=((S(1))(S(1)))(a-b)

 

임의의 정수 x에 대해, 곱해서 같은 수가 되려면,

x x 1 이 되어야 할 것이다.

 

그러면, (S(1)) x (S(1)) = 1 이 되어야 할 것이다.

 

이 사실로 임의의 정수 p,q에 대해,

(S(p))(S(q))=pq가 되는 결론을 이끌어낼 수 있다.

 

 

 

pr=qr에서 r이 0이 아닌 정수일 때, 소거법칙을 보자.

 

r=1 일 때는 p x 1=p=q x 1=q니까 p=q

r=S(1) 일 때, p(S(1))=q(S(1)) => p=q라 하자.

p(S(1))'=q(S(1))'=p x 0 = q x 0 = 0

=p(S(1))+p= q(S(1))+q

=p+p(S(1))=q+q(S(1))

가정에서 p(S(1))=q(S(1)) 이므로,

이것을 동시에 소거 가능하다.

그러면, p=q가 된다.

r=S(1)일 때, 소거법칙이 성립된다.

 

r=k  일 때, pk=qk =>p=q, k는 S(1), 0이 아닌 정수

라고 하자.

r=k'일 때,

pk'=pk+p=p+pk

qk'=qk+q=q+qk

 

pk'=qk'일 때, 가정에서 pk=qk 이므로,

p=q가 된다.

 

임의의 정수 p,q,r 에서 ,

pr=qr=> p=q (단, r은 0이 아닌 정수)

 

 

여기에서 정수의 새로운 특징을 알아냈는데,

 

임의의 정수 p에 대해,

p+0=p , p x 0 = 0, p+S(p)=0

이런 특징들이다.

 

또 하나 알아낸 것은

덧셈과 다른 뺄셈의 특징인데,

임의의 정수 p,q,r,s 에서

p-(q+r)=(p-q)-r

(p+q)-r=p+(q-r)

p-s(q+r)=p-(sq+sr)

뺄셈에 대한 결합법칙은 위와 같다.

 

 

어떤 연산을 해서 자기 자신이 나오는 것을 항등원이라고 하는데,

덧셈에서는 0, 곱셈에서는 위의 정의를 보면 1이 된다.

일단, 정수 범위 내에서 정의했으므로,

적어도 정수 범위내에서는 성립한다 할 수 있다.

 

그리고 S(p)에 대해서는

S(p)=0-p, p+S(p) = 0 = p-p 가 된다.

S(p)의 기능이 p를 빼는 기능과 같아서

앞으로는 S(p)=-p로 표기하겠다.

그러면, S(S(p))=p이므로,

-(-p)=p가 될 것이고,

(-p)x(-q)=pq 이렇게 될 것이다.

p+(-p)=p-p 가 되고 말이다.