자연수의 곱셈 법칙 Laws of multiplication in natural number

이전 포스트에서 자연수의 덧셈 법칙을 보았다.

이번엔 곱셈 법칙을 보도록 하겠다.

 

곱셈은 같은 수의 덧셈을 여러번 할 때,

간단하게 쓰일 수 있는 연산이다.

덧셈을 여러번 표현하면,

길이도 길어지고 불편하니

조금 더 편하게 표현하고자 쓴 것이 곱셈이라는 거다.

 

곱셈법칙을 직접 계산을 해서,

아니면 기하학 적으로 보일 수도 있을 것이다.

하지만, 체계 내에서 전체적으로 작용하는 규칙으로 보기는 힘들 것이다.

보이는 현상으로 보였을 뿐이기 때문이다.

 

곱셈에 대해 규칙을 만들 것인데,

저번에 보였던 덧셈을 기반으로 규칙을 만들것이다.

 

1. n x 1 = n

 

n을 한 번 더하면 자기 자신이 나오는 건 당연할 것이다.

 

2. n x m' = n x m + n

 

m'은 m의 다음 수이고,

n을 m' 번 더한다는 것은 n을 m 번 더한 후 

n을 한 번 더 더한 것이라 볼 수 있다.

 

규칙은 덧셈과 마찬가지로 2가지 이다.

 

두 규칙을 바탕으로 곱셈의 여러가지 법칙을 보이자.

 

우선 분배법칙부터 보도록 하자.

 

2번을 조금 풀어서 쓰면,

 

n x m' = n x ( m + 1) 

 

이전 포스트 덧셈 공리에 의해 m'=m+1

 

n x m' = n x m + n = n x m + n x 1

 

따라서

 

n x ( m + 1 ) = n x m + n x 1

 

n x ( m + l ) = n x m + n x l 이 l =1 에서 성립함을 보였다.

 

l=k 일 때 성립한다고 하면,

 

n x ( m + k) = n x m + n x k

 

l=k' 일 때 식을 전개해보도록 하자.

 

n x ( m + k' ) = n x ( m + k )'

= n x ( m + k ) + n

= ( n x m + n x k) +n

= n x m + ( n x k + n)

= n x m + n x k'

 

모든 자연수에 대해서 

 

n x ( m + l ) = n x m + n x l

 

분배법칙이 성립함을 알 수 있다.

 

 

 

 

다른 법칙을 보기 전에,

1에 대해서 생각해보자.

 

1= 1 x 1 = 1 x 1

 

이 되는데, 

이는 n x 1 = 1 x n 이 n=1 일 때, 성립한다는 것과 같다.

 

더 나아가, k x 1 = 1 x k 가 성립한다고 하자.

 

이 때, 1 x k' 를 전개하면,

 

1 x k' = 1 x k + 1

      = k x 1 +1

= k +1

     = k'=k' x 1

 

즉, 모든 자연수 n에 대해,

 

n x 1 = 1 x n 이 성립한다.

 

저 상황에서 교환 법칙이 성립한다.

 

다른 경우에도 성립하는지 봐야하는데,

 

그 이전에 n'에 대해서 생각해보자.

 

n'= n + 1 = n x 1 + 1

 

그리고 n' = n' x 1 도 된다.

 

n' x 1 = n x 1 + 1

 

여기서, n' x k =  n x k + k 가 성립한다하자.

 

n' x k' = n' x k + n'

= ( n x k + k) + n'

= n x k + ( k + n' )

= n x k + ( n' + k )

= n x k + ( n + k )'

= n x k + ( n + k' )

= ( n x k + n ) + k'

= n x k' + k'

 

따라서 모든 자연수에서

 

n' x m = n x m + m 이 된다.

 

자, 이제 다른 경우에 교환 법칙이 성립되는지 보도록 하자.

 

n x k = k x n 이 성립한다 하자.

 

이 때, n x k' 를 전개하면,

 

n x ( k + 1) = n x k + n x 1

= k x n + n  

= k' x n

 

즉, 모든 자연수에 대해서,

 

n x m = m x n 이 성립한다.

 

교환법칙이 성립함을 보였다.

 

 

 

 

다음은 결합법칙을 보자.

 

n x m = ( n x m ) x 1

        = n x (  m x 1)

 

( n x m ) x l = n x ( m x l ) 이

l=1 일 때 성립함을 보였다.

 

( n x m ) x k = n x ( m x k ) 가 성립한다고 했을 때,

 

( n x m ) x k' 를 전개해보자.

 

( n x m ) x k' = ( n x m ) x k + n x m

                   = n x ( m x k ) + n x m  

            = n x ( m x k + m )

      = n x ( m x k' )

 

모든 자연수에서 

( n x m ) x l = n x ( m x l ) 이

성립함을 보였다. 

결합법칙도 성립한다.

 

 

 

이제 n=m 을 생각해보자.

n = n x 1, m = m x 1

으로 표현할 수 있다.

n x 1 = m x 1 이라는 것은

n = m 으로 표현할 수 있다.

 

n x l = m x l => n = m

 

이 l=1일 때, 성립한다고 볼 수 있다.

 

n x k = m x k => n = m

 

이 성립한다고 하자.

 

n x k' = m x k' 일 때,

 

n x k' = n x k + n = n + n x k

m x k' = m x k + m = m + m x k

 

위 가정에서 n x k = m x k 이므로

덧셈의 소거법칙에 의해

  

n + n x k = m + m x k  => n = m 

 

따라서 l=k'에서 성립이 되고,

모든 자연수에서 

 

n x l = m x l => n = m

 

이 성립하니, 소거법칙도 성립한다 할 수 있다.

 

정리하면,

 

1. n x 1 = n

2. n x m' = n x m + n

 

곱셈의 2 가지 규칙으로

 

1. n x ( m + l ) = n x m + n x l

2. n x m = m x n

3. ( n x m ) x l = n x ( m x l )

4. n x l = m x l => n = m

 

분배법칙, 교환법칙, 결합법칙, 소거법칙

4가지 법칙을 만들 수 있었다.