자연수 사이에서의 크기 Magnitude between natural numbers

살면서 비교할 일이 많다.

비교할 때 기준은 통상적으로 갯수나 크기일 것이다.

그게 가장 명확한 기준이니까 말이다.

셀 수 있는 것은 갯수 비교를 많이 할텐데,

갯수에 쓰이는 게 자연수 아닌가?

자연수의 크기를 비교하겠다.

 

임의의 자연수 d가 있을 때,

m+d=n 이면,

m<n 이라고 한다.

 

∀ d∈N : m+d=n <=> m<n

 

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 1을 자연수의 시작이라 정해놓고 서술해왔기 때문에,

d가 1이라고 해도 n=m' 이므로

n이 m 뒤에 나오는 수임이 자명하다.

이게 크기 비교에 대한 공리이다.

이 공리로 부터,

 

∀ m,n,l∈N : n<m ∧ m<l => n<l

 

이 명제를 얻을 수 있다.

임의의 자연수 n,m.l 이 있을 때,

n<m 이고 m<l 이면, n<l 이다.

 

저 명제를 증명해보자.

=> 앞 부분을 다르게 표현하면,

 

∀ m,n,l ∈ N : ∀ d,k ∈  N : n+d=m ∧ m+k=l

 

이렇게 될 것인데,

 

l= (n+d)+k= n+(d+k)

 

자연수끼리 더하면 자연수가 나오기 때문에,

 

* 위의 명제 증명 *

자연수 d에 대해, 

d+1 = d' , 

d가 자연수면 d' 자연수

d+p 가 자연수라 가정할 때,

d+p' = (d+p)'

d+p가 자연수라고 가정했으므로,

(d+p)'는 자연수

따라서 임의의 자연수 r에 대해

d+r 은 자연수

 

위의 식, d+k 는 자연수이고,

n<l 이 성립한다.

 

임의의 두 자연수 m, n의 관계를 생각하면,

임의의 자연수가 p가 있을 때,

m+p = n 이면,

m<n 이고,

m=n 이면,

n=m 이고,

m=n+p 이면,

m>n 이 된다.

자연수의 순서가 일렬로 쭉 이어지니까,

앞의 순서, 동일, 뒤의 순서

이렇게 밖에 없지 않겠는가?

 

그래서, 임의의 자연수m,n의 관계는

 

m<n, m=n, m>n

 

이 세 가지 중 한 경우일 것이다.