자연수 Natural numbers

살면서 수를 셀 일이 참 많은 것 같다.

잔 돈을 셀 때도 물건을 갯수를 셀 때도 말이다.

갯수를 셀 때 쓰는 수를 자연수라고 한다.

이런 수를 역사 속에서 암묵적인 규칙 하에 관습적으로 써왔지만,

근 현대에 들어서 자연수라는 모임의 확실한 형식을 통해 규칙을 정했는데,

'페아노'라는 사람이 이런 식으로 규칙을 정립해서

자연수에 대한 이론 체계를 '페아노 공리계'라고 한다.

 

형식적으로 규칙을 정한 것이 기본 공리를 정한 것이다.

(공리가 뭔지 알고 싶으면, 여기를 눌러서 보라.)

자연수라는 집합도 기존 암묵적 규칙을 이론화 한 것이라

자연수의 기초적인 성질을 설명했다고 보면 될 것이다.

 

자연수의 성질을 보면,

일단, 순서가 있고, 시작점이 있는 집합이다.

 

a->b->c->...

 

이런 식이라는 거다.

그리고 모든 집합의 원소가 순서 비교가 가능하다는 점이다.

자연수 안에 있는 임의의 한 원소와 다른 원소가 있을 때,

어느 것이 먼저이고 나중인지를 비교 가능하다는 것이다.

 

a->b->c->d->e->f->g

               x->y↗         ↘ z->w    

 

다른 조건이 없으므로 순서도만 봤을 때,
위와 같은 순서로 되어있다고하면,

a와 x 중에 어느 것이 먼저인지 파악할 수 없다.

둘은 다른 계열이 있기 때문이다.

 

a->b->c->...

 

이렇게 시작점이 있으면, 하나의 순서계열로 가야한다는 것이다.

 

일단, 자연수 집합이 원소가 하나도 없는 공집합이 아니므로,

원소가 하나 있고, 시작점이 있어야 한다고 했으니,

자연수 집합에 대한 공리 1번은 집합의 시작이 되는 원소가 있다 이다.

이걸 a라고 하고, N을 자연수 집합이라고 하자.

그러면,

 

1. a∈N

 

이 공리가 나온다. a는 N에 포함된다는 뜻이다.

이 공리만 보면, N이 원소가 있다는 얘기지,

a가 시작점인지는 모른다.

그렇기 때문에 다른 공리로 보충해서 a를 시작점으로 만들 것이다.

이건 조금 뒤에서 얘기하도록 하겠다. 

 

자연수에 대한 공리는 9개라고 할 때도 있고,

5개라 할 때도 있는데,

기호 '=' 에 대한 정의가 있느냐 없느냐에 따라 갯수가 달라지는 것이다.

= 기호를 두 개 대상이 같을 때 쓰고자 한다.

우리가 정의하고 있는 집합은 N 집합이므로,

N 집합 내에서 정의한다.

두 개가 = 로 연결 되어있을 때,

두 개가 같음을 의미하도록 만들어보자.

우선, 자기 자신은 자기 자신과 같지 않은가?

그러니 이것 부터 =라는 기호로 연결시키는게 우선일 것이다.

 

2. ∀ n∈N : n=n

N의 임의의 원소 n에 대해 n은 n과 =로 연결되어있다.

n은 자기 자신과 =로 연결되어 있으므로,

=은 같다라는 의미를 가지게 된다.

앞에 대문자 A 거꾸로 해놓은 기호는 '모든'이란 뜻이다.

이번엔 서로 다른 기호에 대해 같다고 해보자.

 

3. ∀n,m∈N : n=m => m=n

 

위에 것의 뜻은 N에 있는 임의의 원소 n,m에 대해

n=m 이면, m=n 이다 라는 뜻이다.

모든 원소에 대해 성립한다는 것은

집합 안에 원소 아무거나 골라서 얘기해도 성립한다는 뜻이라

임의의 뭐시기가 성립 이러면,

모든 뭐시기가 성립한다 이렇게 알면 되겠다.

N에 있는 임의 원소 n과 m에 대해서,

n이 m과 =로 연결되어있으면,

m도 n과 =로 연결되어있다는 의미이다.

2번 공리에서 =이 같다는 의미를 가지게 되었으니,

n과 m이 같다는 의미가 되겠다.

이번엔 서로 관련 없던 대상이 하나의 매개로 같아지게 됨을 보이도록 하겠다.

4.  ∀n,m,l∈N : n=m ∧ m=l => n=l

 

N에 있는 임의의 n,m,l 이란 원소에 대해서,

n이 m과 = 이란 기호에 연결되어있고,

m이 l과 =로 연결되어있으면,

n은 l과 =로 연결되어 있다는 뜻이다.

2번 공리와 연결해서 보면,

n과 l이 m이라는 매개를 통해,

서로 같다는 걸 보여주고 있다.

n,m,l 다 같다는 의미다.

아, 참고로 ∧는 '그리고'의 의미를 가진다.

이 정도면, N에서 원소의 같음에 대한 규칙을 충분히 세운 것 같다.

 

그런데, 같은 대상은 같은 집합 안에 있어야 하지 않겠는가?

그래서 만든 공리는 다음과 같다.

 

5. ∀n∈N : n=m => m∈N

N에 있는 임의의 원소 n에 대해서,

n과 m이 같으면, m은 N의 원소라는 뜻이다.

여기까지가 =에 관한 공리들이다.

나머지 공리들은 집합 구조와 관련된 공리이다.

a->b->c->...

 

앞에서 역사에서 자연수가 암묵적으로 쓰였던 규칙에 따라

N의 원소 순서를 하나의 줄로 쭉 이어지게 만들고 싶다고 했다.

 

a->b->c->d->e->f->g

               x->y↗         ↘ z->w   

이런 식으로가 아니고 말이다.

이걸 만들기 위한 공리들을 몇 가지 세워야 하는데,

이걸 다음 순서 원소라는 것을 통해서 세울 것이다.

어떤 원소 n의 다음 순서의 원소를 n' 이라고 하자.

그러면 아래와 같은 형식을 만들 수 있다.

6. ∀n∈N : ∃! n'∈N

 

∃! 는 유일하게 존재한다는 의미이다.

그래서 뜻은 N의 임의의 원소 n에서

n의 다음 순서의 원소 n'은 유일하다는 뜻이다.

모든 n에 대해서 그 다음이 있다는 얘기이므로,

N이 무한한 순서로 나열된다는 보인다고 볼 수 있다.

 

e->f->g

          ↘ z->w

6번 공리는 N 집합이 적어도 위와 같은 순서 형식이 아니라는 것을 보여 준다.

아직, 다른 부분이 해결되지 않았기 때문에 다른 규칙들이 필요하다.

자연수에도 시작하는 수가 있으므로,

우리가 만들 N 집합도 시작하는 원소가 있어야 한다.

우리가 1번 공리의 a를 시작점으로 만들고 싶기 때문에

 

7.  ~ ∃n∈N : n' = a <=> ∀n∈N : ~(n'=a)

 

7번 공리, N의 원소 n에 대해,

n'은 a인 n은 없다는 공리이다.

~는 부정의 표시이고,

∃ 는 

∃! 에서 느낌표가 빠진 기호인데,

존재한다는 뜻이다.

그러니까 N에 있는 어느 원소의 다음 순서도 a가 아니라는 뜻이다.

참고로, 두 형식 사이에 <=>는 동치, 같은 의미라는 뜻이다.

a가 있는데, 어느 것의 다음 순서가 아니라면,

시작점이 아니겠는가?

 

1번 공리에서 제기된 문제를 7번 공리로 해결했다 볼 수 있다.

그런데, 왜 7번이나 가서 해결되었냐고 물을 수도 있는데,

7번 공리에 n'을 이용해서 말해야 하는데,

그 이전에 n'을 정의할 필요가 있었기 때문이다.

그리고 2~5번 공리는 =에 정의도 있어야 하고 말이다.

여튼 N의 구조를 어느 정도 해결된 것 처럼 보인다.

 

a->b->c->d->e->f->g

 x->y↗         

 

하지만, 집합이 이런 식으로 되는 문제를 해결해야 한다.

그 문제는 아래와 같은 공리로 해결할 수 있다.

 

8.  ∀n,m∈N : n'=m' => n=m

 

N에 있는 임의의 원소 n,m에 대해,

n 다음 원소와 m 다음 원소가 같으면,

n과 m이 같다는 공리이다.

서로 같은 원소면, 이전 원소도 같다는 뜻이 되겠다.

 

마지막 공리는 N에 대한 성질을 얘기할 때,

중요하게 사용되는 규칙이다.

 

9.  S⊆N : (a∈S ∧ n∈S => n'∈S) => S=N

 

N의 부분집합 S에 대해서

a가 S에 속하고 n이 S에 속할 때, n'이 S에 속하면,

S는 N과 같다는 뜻이다.

집합 N 성질을 얘기할 때,

a에서 성립하고, n에서 성립할 때,

n'에서 성립하면,

N 모두에서 성립한다는 

수학적 귀납법의 바탕이 되는 규칙이라 하겠다.

 

이상으로 이 9가지 공리가 자연수 집합 구조에 대한 규칙이다.

 

공리에 대한 것만 나열하면, 아래와 같다.

 

 

1. a∈N

a는 N에 속한다.

N이 공집합은 아니라는 소리이다.

2. ∀n∈N : n=n

 

N의 임의의 원소 n에 대해서, 

n은 n과 =로 연결된다.

즉, 둘이 같은 거는 =로 연결된다.

 

3. ∀n,m∈N : n=m => m=n

N의 임의의 원소 n,m에 대해서,

n=m이면 m=n이다.

 

4.  ∀n,m,l∈N : n=m ∧ m=l => n=l

 

N의 임의의 원소 n,m,l에 대해서,

n=m이고 m=l이면, n=l이다.

 

5. ∀n∈N : n=m => m∈N

 

N의 임의의 원소 n에 대해서,

n=m이면, m은 N에 속한다.

 

 

 

6. ∀n∈N : ∃! n'∈N

N의 임의의 원소 n에 대해서,

n의 다음 순서 원소를 n'으로 정의하면,

n'은 N의 원소로 유일하게 존재한다.

n 다음 순서로 올 원소는 오직 하나 뿐이라는 뜻이다.

 

7.  ~ ∃ n∈N : n' = a <=> ∀n∈N : ~(n'=a)

 

N의 임의의 원소 n에 대해서 n'=a인 n은 존재하지 않는다.

혹은 n'=a가 성립되지 않는다.

a는 N의 어떤 원소의 다음 순서에 오지 않는다는 의미로,

a가 N의 처음 원소라는 뜻이다.

 

8.  ∀n,m∈N : n'=m' => n=m

N의 임의의 원소 n,m에 대해서,

n'=m'이면 n=m 이다.

N의 임의의 원소 n' 이전 순서 원소도 하나 뿐이라는 뜻이다.

9.  S⊆N : (a∈S ∧ n∈S => n'∈S) => S=N

 

N의 부분집합 S에 대해,

a가 S에 속하고, n이 S에 속할 때, n'이 S에 속하면,

S=N이다.

1번은 N이 공집합은 아니란 소리, 

2~5번은 =기호에 대한 규칙,

6~8번은 N을 시작점부터 무한히 이어지는 집합으로 만들기 위한 규칙

9번은 N이 수학적 귀납법의 바탕이 되는 규칙

 

이런 식으로 정리할 수 있을 것 같다.