1+1=2 와 덧셈에 대한 법칙 1+1=2 and laws of addition

1+1=2

어렸을 때 부터 당연하게 생각해왔던 명제이다.

약속을 이렇게 잡았으니 당연한 거라고 할 수 있다.

다만, 이런 식의 약속은 주먹 구구식으로 약속을 정한 거라서

이 계산 시스템을 움직이는 규칙이 있어야 할 것이다.

 

1과 2는 자연수에 속하기 때문에

자연수에서의 연산 법칙을 세워야 할 것이다.

+가 연산기호이기 때문에,

이 연산에 대한 정의를 세워주면

집합 안에서 연산 규칙을 따르면 되기 때문에

각 계산에 일일히 약속을 세우지 않아도 될 것이다.

 

+ 연산의 정의를 세워보자.

자연수로 정의 된 N의 시작점 a를 무엇으로 할 것인가가 관건이다.

a=1로 할 수도 있고, a=0으로 할 수도 있기 때문이다.

이게 예전에는 자연수의 시작을 1로 봤는데,

( 급식 수준에서는 아직도 1로 본다.)

요즘 수학 학계는 0으로 보기 때문에 이런 현상이 생긴 것이다.

만약 1을 시작점으로 하면

 

1.∀n∈N : n+1=n'

 

이렇게 될 것이고,

N에 있는 임의의 수 n에 1을 더하면

그 다음 순서의 수 n'이 된다라는 뜻이다.

 

 

0을 시작점으로 하면,

 

1. ∀n∈N: n+0=n

 

이 될 것이다.

n에다 0을 더하면 n이 된다는 뜻이다.

 

또 다른 규칙은

 

2. ∀n,m∈N : n+m'=(n+m)'

 

N에 있는 임의의 수 n,m 에 대해서

n에다 m의 다음수 m'을 더하면,

n+m으로 나오는 수의 다음 수가 된다는 뜻이다.

 

이 규칙에 의해서

 

1+1=1'

 

이 되고

 

1'=2 라고 정의하면,

 

1+1=2

 

가 된다.

 

 

1+1=2의 증명은 이것으로 마치고,

 

덧셈의 주요한 법칙을 도출해보자.

 

우선 결합법칙

 

(n+m)+l=n+(m+l)

 

이걸 우리가 아는 수학적 귀납법으로 보일 것이다.

수학적 귀납법은 자연수 공리 9번에 바탕을 두고 있다.

1일 때 성립하고, k일 때 성립하면, k' 일 때도 성립했을 때,

모든 자연수에 대해서 성립한다는 논리다.

1일 때 성립하면, 1'일 때도 성립,

1'일 때 성립하니까 1''일 때도 성립

....

이런 식으로 자연수 전체에 대해서 성립함을 보인다는 얘기이다.

 

 

l=1 일 때, 성립하는지 보자

 

(n+m)+1

=(n+m)'

                           =n+m'        2번 규칙을 참고

                         =n+(m+1)   1번 규칙 참고

 

l이 1일 때 성립한다는 걸 보였다.

 

이번에 l=k 일 때, (n+m)+k=n+(m+k) 가 성립한다고 하자.

k는 역시 자연수이다.

 

l=k'일 때 어떻게 될 지 보자.

 

(n+m)+k'=((n+m)+k)'   2번 규칙 참고

                      =(n+(m+k))'  자연수 공리 8번 참고

             =n+(m+k)'     2번 규칙 참고

             =n+(m+k')     2번 규칙 참고

 

l=k 일 때, 교환 법칙이 성립될 때,

l=k'일 때 도 성립 된다는 걸 보였다.

 

임의의 자연수 n,m,l에서 (n+m)+l=n+(m+l) 이다.

 

이번엔 교환법칙이 성립되는지 알아보자

 

n+m=m+n 이 되는지 말이다.

 

우선 n+1=1+n을 보이도록 하겠다.

 

n=1일때, 1+1=1+1이 성립한다.

 

k+1=1+k가 성립한다고 하자.

 

k'+1=(k+1)+1     1번 규칙 참고

      =(1+k)+1      위의 가정 참고

      =1+(k+1)      결합 법칙 참고

     =1+k'           1번 규칙 참고

 

이로써, 모든 자연수 n에 대해서 n+1=1+n 이 성립

 

n+k=k+n이 성립한다고 할 때,

 

     n+k'=n+(k+1)       1번 규칙 참고

                =n+(1+k)    바로 위의 법칙 참고

        =(n+1)+k    결합법칙 참고

                 =(1+n)+k    바로 위의 법칙 참고

        =1+(n+k)    결합법칙 참고

               =1+(k+n)    바로 위의 가정 참고

         =(1+k)+n    결합법칙 참고

               =(k+1)+n    바로 위의 법칙 참고

        =k'+n          1번 규칙 참고

 

임의의 자연수 n,m에 대해서 n+m=m+n 이 성립

 

이번엔 소거 법칙인데,

 

m+n=l+n => m=l

 

이런 법칙이다.

n=1 일 때 부터 보면

 

m+1 =m' = l+1 =l'

 

자연수 공리 8번가 아래와 같다,

 

m'=l' => m=l

 

따라서, m+1=l+1 => m=l

 

m+k=l+k => m=l

 

이라 해보자.

 

m+k'=l+k'

=(m+k)'=(l+k)'

                            => m+k=l+k  자연수 8번 공리 참고

                    => m=l         위의 가정 참고

 

따라서 임의의 자연수 m,n,l에 대해서 m+n=l+n => m=l 이 성립된다.

 

정리하면,

 

1. ∀n∈N : n+1=n' 

2. ∀n,m∈N : n+m'=(n+m)'

 

이 두 가지 덧셈 규칙으로부터

 

결합법칙  :  (n+m)+l = n+(m+l)

교환법칙 :  n+m=m+n

소거 법칙 :  m+n=l+n => m=l

 

세 가지 법칙이 성립함을 알 수 있다.