뺄셈과 정수 Subtraction and integer

이전 포스트에서 자연수에 크기에 대해 알아보았다.

 

a,b가 자연수일 때,

a>b 일 때, a=b+k, k는 자연수

이런 식으로 성립이 된다.

 

a=b+k=k+b 인데,

a라는 수에서 b를 소거하면,

k가 될 것인데,

소거 법칙을 형식화 하는 방법에서 고안된 것이

'-' 기호를 통한 방법이지 않을까 싶다.

이 기호에 대한 얘기는 

수학에서 정식적으로 정하는 것과는 다를 수 있는

 개인 생각으로 하는 것이므로

그냥 재미삼아 읽어보면 되겠다.

 

(k+b)-b=k 로 표현하면,

k+b에서 b를 소거하면 k가 남는다는 얘기를 

형식적으로 표현한 것이 아니겠는가?

k+b=a 이므로,

a-b=k 가 될 것이다.

즉, a>b일 때, a-b의 결과는 자연수가 된다는 얘기이다.

이를 '-' 연산의 규칙으로 만들 수 있을 것이다. 

 

만약에 a=b일 때는 어떨까?

a에서 a를 소거하면, 아무것도 남지 않는다.

그렇다면, a-a를 어떻게 표현할 것인가?

아무것도 없는 것에 대한 표현을

a-a=0

이런 식으로 하면 될 것이다.

이것도 하나의 규칙이 될 수 있을 것이다.

0은 자연수로 치부하기도 하지만,

이전 포스트들에서는 0을 자연수로 보지 않았기 때문에,

자연수라고 하는 집합과 다른 집합을 정의해야 한다.

일단, 이건 이후에 생각해보자.

 

이제, a<b일 때, 어떻게 정할지 생각하자.

이 때, a-b는 뭐라하기가 어렵다.

b=a+l, l은 자연수, 이라고 하면,

a-(a+l)이 되는데,

이 값은 자연수라고 보긴 어렵다.

일단, b-a=(a+l)-a=(l+a)-a=l 이다.

(a+l)-a=l 니까,

a-(a+l)은 위에 식 a+l과 a를 교환한 형태니까,

스와핑 Swapping에 S를 따서 

a-(a+l) = S(l) 이라 해보자.

스와핑은 찾아보면 19금 관련한 것이 먼저 나오니,

알아서 검색하도록 하자.ㅎㅎㅎ

여튼, a-(a+l) = a-b = S(l)이 되었다.

위에서 본대로 b-a=l 이므로,

a-b = S( b-a ) 라고 쓸 수도 있을 것이다.

그러면, S( S( b-a ) )= S( a-b ) 이고,

S( a-b ) = b-a 가 될 수 있을 것이다.

스와핑 했던거 한 번 더 하면 제자리이지 않는가?

그런 것과 같은 이치로 생각할 수 있을 것이다.

 

그러면, '-' 에 대한 규칙은 일단 이렇게 정할 수 있을 것이다.

a-b 가 3가지로 나뉘어 지는데,

a>b이면, a-b

a=b이면, 0

a<b이면, S( b-a )

S는 스와핑의 S이다.ㅎㅎㅎ

 

3개 중에서 확실히 첫 부분은 자연수이다.

나머지 두 개, 0과 S( b-a )는 자연수에 해당되지 않을 것이다.

자연수 내에서 적용되는 논리와 앞에서 얘기한 '-' 규칙을 결합, 확장시켜서

0과 S( b-a )의 순서를 일관성 있는 논리로

자연수 순서에 붙여서 연장시킬 수 있는지 생각해보자.

 

처음에 전개한 방식을 생각해보자.

자연수 m,n,l에 대해 보면,

(m+l)-l=m

(n+l)-l=n

전개할 때, m>n 이라고 해보자.

m=n+d 라고 할 수 있고,

m+l=(n+d)+l

=(d+n)+l

=d+(n+l)

그러니까 m+l>n+l 이 된다.

 

위의 결과로부터

자연수 내에서 a>b 일 때, 

a,b 모두보다 작은 k가 있어

a-k 와 b-k를 비교하면,

a-k>b-k 가 됨을 알 수 있다.

위 사실과 b>k 라는 점에 이어서 생각해보면,

b-k>k-k 이어야

규칙이 일관성 있게 적용될 것이다.

b>k는 임의의 자연수 n에 대해, b=k+n,

모든 자연수 n에 대해, b-k=n>k-k=0 라는 뜻이다.

즉, 0은 모든 자연수보다 작다는 말이 성립되어야

앞에 논리와 이어 자연수에 있는 규칙을 확장시킬 수 있을 것이다.

여기서, k>p 인 자연수 p와 한 번 연계하여

자연수에 적용되는 규칙을 확장시켜보자.

k-k>p-k 가 되어야 위의 논리와 일관성이 성립될 것이다.

그러면, 0>S( k-p )가 되고

임의의 자연수 n에 대해서 0>S(n) 가 된다.

그러면, 순서는 임의의 자연수 n에 대해서,

S(n)<0<n

이렇게 만들어 낼 수 있다.

 

자연수만 안 상태에서

자연수 1보다 작은 0이나,

0보다 작은 수를 상상하긴 힘들겠지만,

만약 그런게 있다면,

그러한 수가 어떤 수이고,

그 논리적 작용은 어떨지 궁금하지 않은가?

자연수에 적용한 논리를 확장해서

새로운 세계를 만들어보는 것도 나쁘지 않은 거 같다.

 

자연수에는 순서가 정해져있는데,

그 순서에 따른 S(n)으로 된 집합은 순서가 어떻게 될까?

n=(a+b)+c , n,a,b,c는 자연수

이렇게 표현할 수 있다면,

n=a+(b+c)로 표현할 수 있을 것인데,

n에서 c를 제거하는 것과 b+c를 제거하는 것 중 어느 것이 클까?

n-c=((a+b)+c)-c=a+b

n-(b+c)=(a+(b+c))-(b+c)=a

n-c>n-(b+c)가 더 큼을 알 수 있다.

c와 b+c중에는 b+c가 더 크지 않는가?

자연수 a,b,c가 있어 b<c 일 때

a-b>a-c 라는 것이다.

이 때 S(a-b)와 S(a-c)를 표현하면,

b-a와 c-a가 된다.

앞에서 언급한 논리와 일관성이 있어야 하므로,

b<c이므로, b-a<c-a 이다.

즉, a-b>a-c 인데, S(a-b)<S(a-c) 가 된다.

 

여기까지 임의의 자연수 n,m에 대해

n>m일 경우 순서까지 다 논증이 되었다.

n>m>0>S(m)>S(n)

이렇게 말이다.

M={S(n) : n 은 자연수} 인 집합을 정할 때,

M은 0을 기준으로 순서는 자연수의 반대되지만,

자연수를 기반으로 한 집합이라 자연수의 규칙을 그대로 담고 있는 구조라,

등호는 자연수 규칙 2,3,4,5가 그대로 적용되었다 볼 수 있다.

 

자연수와 0, 집합 M의 합집합에 대해서,

이 집합을 '정수(integer)'라고하자.

자연수 중 가장 첫 순서는 1인 점을 보면,

...<S(1')<S(1)<0<1<1'<...

전개가 이와같은데,

시작점이 없고, 다음 순서의 수가 안 되는 수가 없는 것 빼고는

자연수 순서 구조와 동일하게 흘러가는 것을 알 수 있다.

즉, 7번 공리 빼고는 다 적용할 수 있다.

예를 들어, 0'=1이 되고, (S(1))'=0이 되는 걸 알 수 있다.

 

순서를 다시 정리하면,

 

자연수가 1<...<n<n'<...

0을 추가했을 때, 0<1<...<n<n'<...

S(n)류의 수를 추가하면, ...<S(n')<S(n)<...<S(1)<0<1<...<n<n'<...

 

이렇게 된다는 얘기다.