나눗셈과 유리수 Division and rational number

덧셈의 소거에 대해서도 했으니,

곱셈의 소거에 대해서도 충분히 논할 수 있을 것이다.

 

0이 아닌 정수 r에 대해

 

pr=qr => p=q

 

이러한데, 이걸 표시할 형식이 있으면 좋을 것 같다.

 

곱셈의 소거를 나눗셈이라하고

형식은 p=pr/r 또는 pr ÷ r

 

0이 아닌 정수에서 저렇게 소거를 할 수 있는데,

임의의 정수 p, q에 대해서,

p/q 의 값이 정수가 되느냐를 생각해 봐야 할 것이다.

 

우선 자연수에 대해 생각해보자.

n+d=m (세 문자 다 자연수)

그러면, n<m이고,

ml=(n+d)l=nl+dl 이므로,

nl<ml이 된다.

n은 nl/l, m은 ml/l 이므로,

nl<ml이 되려면, nl/l < ml/l 이 되어야 한다.

 

그러면, 논리의 일관성을 가지기 위해,

임의의 자연수 p,q,r 에 대해서,

p<q 가 되려면, p=(p/r) x r , q=(q/r) x r 이므로,

 p/r < q/r 이어야 할 것이다.

 

n<m 일 때를 생각해보자.

이 때, n/m < m/m 이렇게 될 것이다.

m/m=1 이므로,

n/m < 1 이다.

n/m 의 크기를 어떻게 정해야 할까?

그리고 우리가 앞에서 얘기했던 정수에 속하는가?

 

우리가 알고있는 것에서 부터 얘기해보자.

 

임의의 자연수 n에 대해,

0<n 이다.

거기에 0=m x 0 = 0 x m임을 생각하면,

0=(0 x m)/m=0/m 이다.

임의의 정수 p, q 와 임의의 자연수 n에 대해

p<q 일 때, pn<qn 이 된다.

 

앞에서 n,m은 자연수이고,

0<n<m 이다.

이걸 다르게 표현하면,

(0/m) x m < (n/m) x m < (m/m) x m

그리고 이걸 m으로 나누면,

0 = 0/m < n/m < m/m =1

n/m 은 0과 1 사이의 수가 된다.

 

정수에서는 0 다음에 바로 1 이었다.

n<m 일 때, n/m은 0과 1 사이의 새로운 순서가 되었다.

 

n/m과 같은 수를 넣을 수 있도록

새로운 집합을 정해야 할 것이다.

정수에 이런 집합을 포함했을 때

이를 유리수라고 한다.

 

이 유리수도 순서를 정해야 하는데,

정수 체계와 연동되어야 하기 때문에,

정수가 가지고 있는 성질이 있어야 할 것이다.

자연수 0<n<m 이 있을 때,

-m < -n <0 이 되는 것 처럼

앞에 나온 수, n/m도 같은 논리를 적용하면 될 것이다.

0 < n/m < 1

이니,

-1 < -(n/m) < 0

이런 식으로 말이다.

 

-m < -n < 0 에 m으로 나누면,

-(m/m) < -(n/m) < 0/m

-1 < -(n/m) < 0

이 되므로,

자연수로 나눌 때, 부호가 변하지 않는다는 사실을 알 수 있다.

0보다 큰 수를 자연수로 나누면 0보다 큰수

0보다 작은 수를 자연수로 나누면 0보다 작은수

이런 식으로 말이다.

 

자연수 n,m에 대해,

nm/m=n

(nm/m) x m =n x m =nm

이 되므로,

임의의 자연수 k, l에 대해,

(k/l) x l= k= kl/l 가 된다.

 

이 사실로 부터

-(n/m) x m -(n/m x m)=-n

여기에 l을 나눠보자.

-(n/m) x m/l = - (n/m x m/l) = -n/l

 

-(n/m) x (-(m/l))=-(n/m x (-(m/l)))=-(-(n/m x m/l))

=n/m x m/l=n/l=(nm/lm)=(nm/lm)

여기서, 분자끼리 곱한거에 분모끼리 곱한거 나눠도

같은 값이 나온다는 사실을 도출할 수 있다.

 

즉, 임의의 유리수 p, q에 대해

p<0, q>0 일 때, pq<0 이 된다.

여기서 -q<0 이므로,

p(-q)=-pq>0

또, -p>0면, (-p)q=-pq>0

 

즉, 임의의 유리수 p,q의 부호가 같으면, pq>0

p,q 부호가 다르면, pq<0

 

pq>0 일 때, p와 q의 부호가 같은데,

여기서 pq/q=p 이므로,

q<0 일 때, p<0

q>0 일 때, p>0

 

즉, 자연수 n,m 이 있다고 했을 때,

n/(-m) 이면, n/(-m)<0

n/m 이면, n/m>0

n/(-m) x (-m) = n

-(n/m) x (-m) = -(-(n/m) x m)=-(-n)=n

-m은 0이 아니므로 소거 가능,

따라서, n/(-m) = -(n/m)

 

여기서, (-n)/(-m)=-(n/(-m))=-(-(n/m))=n/m

이 될 것이다.

 

임의의 정수 k,l에 대해서, k/l 일 때,

k, l 부호가 같으면, k/l>0

서로 부호가 다르면, k/l<0

이 될 것이다.

 

다음은 유리수 나누기에 대한 표현인데,

(p/q)/(r/s) 라는 수가 있다고 하자.

p,q,r,s 는 정수, q,r,s 는 0 이 아닌 정수

(p/q)/(r/s) = k 라고 할 때,

k x (r/s) = kr/s = p/q

여기서 양변에 s 를 곱하면,

kr = p/q x s = ps/q

여기서 양변에 q를 곱하자.

그러면, krq = ps

양변에 rq 소거

k = ps/rq

즉, (p/q)/(r/s) = ps/rq = ps/qr 가 된다.

 

(p/q)/s 가 있으면,

(p/q)/(s/1), s/1=s이기 때문,

(p/q)/s=p/qs 가 된다.

 

유리수 연산을 해보자.

a/b + c/d

라는 연산이 있을 때, ( b, d는 0이 아니다.)

a/b에서 d를 곱하고 d를 소거하면 결과가 같다.

ad/b 에서 d를 소거하면,

(ad/b)/d = ad/bd

같은 방식으로, c/d에서 b를 곱하고 소거하면,

cb/db = bc/bd

 

a/b + c/d = ad/bd + bc/bd

 

정수 m,n,l 에 대해 ( l은 0이 아니다.)

m+n = ml/l + nl/l = (m+n)l/l =(ml+nl)/l

이기 때문에, 정수 x, y, z 에 대해, ( z는 0이 아니다.)

x/z + y/z =(x+y)/z

 

a/b + c/d =ad/bd + bc/bd = (ad+bc)/bd

 

이런 식으로 된다.

 

a/b + ( c/d + x/y ) = a/b + (cy+dx)/dy

= ( ady + b(cy+dx))/bdy

=(ady+bcy+bdx)/bdy

 

(a/b + c/d) + x/y = (ad+bc)/bd + x/y

=((ad+bc)y+bdx)/bdy

=(ady+bcy+bdx)/bdy

 

유리수에서도 결합법칙이 성립한다.

 

이처럼 유리수가 정수 기반으로 형성된 수이기 때문에,

덧셈의 결합, 교환, 소거 법칙이 성립되고,

 곱셈의 분배, 결합, 교환 법칙이 성립되고,

곱셈에 들어가는 수가 0이 없으면, 소거법칙도 성립된다.