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교육

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자연수의 곱셈 법칙 Laws of multiplication in natural number 이전 포스트에서 자연수의 덧셈 법칙을 보았다. 이번엔 곱셈 법칙을 보도록 하겠다. 곱셈은 같은 수의 덧셈을 여러번 할 때, 간단하게 쓰일 수 있는 연산이다. 덧셈을 여러번 표현하면, 길이도 길어지고 불편하니 조금 더 편하게 표현하고자 쓴 것이 곱셈이라는 거다. 곱셈법칙을 직접 계산을 해서, 아니면 기하학 적으로 보일 수도 있을 것이다. 하지만, 체계 내에서 전체적으로 작용하는 규칙으로 보기는 힘들 것이다. 보이는 현상으로 보였을 뿐이기 때문이다. 곱셈에 대해 규칙을 만들 것인데, 저번에 보였던 덧셈을 기반으로 규칙을 만들것이다. 1. n x 1 = n n을 한 번 더하면 자기 자신이 나오는 건 당연할 것이다. 2. n x m' = n x m + n m'은 m의 다음 수이고, n을 m' 번 더한다는 것은 ..
1+1=2 와 덧셈에 대한 법칙 1+1=2 and laws of addition 1+1=2 어렸을 때 부터 당연하게 생각해왔던 명제이다. 약속을 이렇게 잡았으니 당연한 거라고 할 수 있다. 다만, 이런 식의 약속은 주먹 구구식으로 약속을 정한 거라서 이 계산 시스템을 움직이는 규칙이 있어야 할 것이다. 1과 2는 자연수에 속하기 때문에 자연수에서의 연산 법칙을 세워야 할 것이다. +가 연산기호이기 때문에, 이 연산에 대한 정의를 세워주면 집합 안에서 연산 규칙을 따르면 되기 때문에 각 계산에 일일히 약속을 세우지 않아도 될 것이다. + 연산의 정의를 세워보자. 자연수로 정의 된 N의 시작점 a를 무엇으로 할 것인가가 관건이다. a=1로 할 수도 있고, a=0으로 할 수도 있기 때문이다. 이게 예전에는 자연수의 시작을 1로 봤는데, ( 급식 수준에서는 아직도 1로 본다.) 요즘 수학 ..
자연수 Natural numbers 살면서 수를 셀 일이 참 많은 것 같다. 잔 돈을 셀 때도 물건을 갯수를 셀 때도 말이다. 갯수를 셀 때 쓰는 수를 자연수라고 한다. 이런 수를 역사 속에서 암묵적인 규칙 하에 관습적으로 써왔지만, 근 현대에 들어서 자연수라는 모임의 확실한 형식을 통해 규칙을 정했는데, '페아노'라는 사람이 이런 식으로 규칙을 정립해서 자연수에 대한 이론 체계를 '페아노 공리계'라고 한다. 형식적으로 규칙을 정한 것이 기본 공리를 정한 것이다. (공리가 뭔지 알고 싶으면, 여기를 눌러서 보라.) 자연수라는 집합도 기존 암묵적 규칙을 이론화 한 것이라 자연수의 기초적인 성질을 설명했다고 보면 될 것이다. 자연수의 성질을 보면, 일단, 순서가 있고, 시작점이 있는 집합이다. a->b->c->... 이런 식이라는 거다. 그리..
주입식 교육 Cramming education 흔히들 교육의 문제점을 얘기할 때, 주입식 교육이 문제라는 말을 많이 한다. 주입식 교육 때문에 자라나서 능동적이지 못하느니, 치우쳐진 사실만 알았느니 결국에 남는 게 없다느니 하는 불평섞인 소리가 많은데, 과연 주입식 교육이 나쁜 것인가 생각해보자. 주입식 교육이란 단어 자체가 좀 이상해보인다. 교육의 기본은 주입이므로, 교육은 주입이란 의미를 포함하는 말이기 때문이다. 다른 포스트에서 얘기했던 것 처럼 어떤 것에 대한 질문이 끝없이 이어지면, 질문에 대한 설명이 무한히 이어져서 질문에 대한 답을 설명을 못해내는 현상이 생기므로, 해당 이론 체계의 시작인 공리나 정의가 있어야 한다고 했다. 세상에 대해 해석하고 판단을 하려면, 기본이 되는 공리나 정의는 피 교육자의 머리 속에 주입시킬수 밖에 없다. '..
언어 교육에 대한 단상 A short thought about language education 옛날에 비해 교통과 통신이 발달되면서 외국인과 접할 기회가 많아진 것 같다. 기업과 국가같은 공적인 영역은 물론이고, 개인과 개인간의 교류도 국제적인 경우가 꽤 있다. 필자의 경우만 봐도 영어를 잘 하지 못하지만, 실제로 외국인 친구를 만나 얘기한 적이 있으며, 통신으로는 거의 매일 대화를 할 정도가 되었으니, 외국어가 아주 먼 얘기는 아닌 것 같다. 외국어를 할 수 있으면 받을 수 있는 혜택이 꽤 있을 것인데, 요즘 통신이 발달해 있기 때문에 전세계의 정보를 편하게 찾을 수 있어, 외국어를 할 수 있는 능력대로 많은 정보를 찾고 지식을 쌓아 나갈 수 있다. 하다 못해 야동을 찾더라도 외국어를 할 줄 알면, 우리나라 웹하드 같은 곳에 있는 거 이상으로 자기 취향에 맞게 능동적으로 좋은 것을 찾을 수 있다..
왜 정다면체는 5개 뿐인가? Why does the world have only 5 platinic solids? 세상엔 다면체가 많지만 정다면체라 할만한 건 5개 뿐이다. 다면체의 모든 면이 정다각형으로 똑같다는 조건이 있기 때문이다. 이번 글에서는 왜 5개 밖에 없는지를 알아보겠다. 순서는 위 세 가지 부터 파악하고 다면체에 우리가 본격적으로 알고자하는 주제에 대해 얘기하도록 하겠다. 직선이 하나 있다고 해보자. 여기서 이 직선과 일치하지 않고 평행하지 않은 선을 하나 더 그을 수 있다. 하나 더 그으면 필연적으로 두 선이 만나서 점이 생기게 된다. 이 상태에서 직선을 하나 더 긋는데, 기존에 생긴 점을 지나지 않고, 두 직선과 일치하거나 평행하지 않는 직선을 하나 더 긋도록 하겠다. 그러면 점 2개가 더 생기고 면이 하나 생기게 된다. 점과 각이 3개가 되고 삼각형이라 불리는 면이 생기는데, 여기서 알 수 있는..
다면체에서의 오일러 표수, V - E + F = 2 증명 Proof of Euler's characteristic in polyhedron 오일러 표수라는 말이 낯설게 느껴질 수 있는데, 중학교 때 배웠던 다면체에서의 공식이다. V-E+F=2 말이다. 기존 동영상에서 설명을 했던 것인데, 이 자료에 대한 사진으로 설명 및 증명을 하겠다. 설명 V : 꼭지점의 수 E : 모서리의 수 F : 면의 수 평면으로 이루어진 다면체에서는 V-E+F=2 가 성립한다. 그림에 설명이 있으니, 보고 이해하면 되겠다. 증명 꺾은 선을 보면 선과 점의 갯수 차이가 1개이다. 점과 선분을 차례대로 표시해보면 나오는 결과이다. 위 선을 링(ring) 처럼 만들면 갯수 차이가 없다. 이것도 위와 마찬가지로 점과 선에 번호를 매겨보면서 해보라. 옆에 선을 더 그려서 면을 하나 더 만들어 보자. 이것도 똑같이 다른 방식으로 번호를 매겨서 확인 해봐라. 이 때 오일러 표..

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