0^0=? , 0!=?
지난 번에 함수 개수 거듭제곱를 다루었다. 이번 포스트에서는 이 두 포스트에서 다루지 못했던 부분을 보충해서 다루고자 한다. 임의의 실수 a에 대해서 a^0=1 이고, 또, 임의의 실수 x, y 에 대해, 01*a=a 이고, a를 곱할수록 수가 커진다. 임의의 실수 r까지 확장해서, a^r 에 r을 보면, r이 클수록 커짐을 알 수 있다. 따라서, a^x < a^y 임을 알 수 있다. a=1 일 때는 x, y 하고 관계없이 1로 일정하다. a1 일 때, x < y < 0 < z < w 이면, r^x < r^y < 1 < r^z < r^w 이런 식으로 된다. 그런데, 그 임의의 실수에 0이 포함될 수 있을까? 임의의 실수 a에 a*0=0 이고, 0까지 포함하면, 0*0=0 이게 되면, 0을 계속 곱하면 0..
얼마나 많은 함수를 만들 수 있는가? How many functions can we make?
이전 포스트에서 함수에 대해서 설명했다. 다시 상기하면, 정의역이 되는 집합이 있고 대응시킬 집합인 공역이 있다. 그 집합의 모든 원소들이 대응되며, 각 원소는 단 하나의 공역의 원소에 대응되어야 한다. 정의역, 공역이 아래와 같이 있을 때, f A B a x b y c z d 만들어 낼 수 있는 함수는 몇 개가 있을까? 우선, a는 x,y,z 중 하나를 고를 수 있다. 나머지 b, c, d 도 마찬가지이다. a에 대응되던 원소에 다른 원소가 대응되어도 함수가 되기 때문이다. 정의역인 A의 원소가 공역인 B의 원소에 하나만 가면 된다. 그러니까 A의 각 원소는 고를 수 있는 경우가 3 가지 인 것이다. 4개 원소가 동시에 대응되어야 함수가 되므로, 정의역에 대응되는 공역의 순서 조합을 ( p, q, r,..
무한의 크기 Magnitude of Infinity
이전 포스트에서 무한에 대해 얘기했었다. 대표적인 무한 집합으로 자연수를 얘기했는데, 과연 자연수 집합의 크기보다 큰 집합이 있는지 궁금하다. 그래서 자연수보다 더 큰 집합인 정수, 유리수, 실수의 크기를 알아보도록하자. 정수는 Z, 유리수는 Q, 실수는 R로 놓고 앞으로 얘기를 전개해보겠다. 먼저 집합 Z 부터 보자. 자연수 집합 N과 Z를 함수관계로 만들때, 일대일 대응이 존재하면, 둘의 집합 크기는 같을 것이다. N은 Z의 진부분집합이고, N이 무한집합이므로 Z도 무한집합일 것이다. 둘 다 무한집합이므로, f : Z -> N 에서 일대일 대응인 f가 존재할 것이라는 말도 할 수 있을 것이다. 만약에 존재하면, 두 집합을 대등하다 볼 수 있을 것이다. f Z N 0 -->1 -1--->2 1--->3..
