0^0=? , 0!=?

지난 번에 함수 개수 거듭제곱를 다루었다.

이번 포스트에서는 

이 두 포스트에서 다루지 못했던 부분을 보충해서 다루고자 한다.

 

임의의 실수 a에 대해서

a^0=1 이고,

또, 임의의 실수 x, y 에 대해,

0<x<y 일 때, 생각하면,

a의 상태에 따라 달라진다.

 

a>1 이면, a*a>1*a=a 이고,

a를 곱할수록 수가 커진다.

임의의 실수 r까지 확장해서,

a^r 에 r을 보면, r이 클수록 커짐을 알 수 있다.

따라서, a^x < a^y 임을 알 수 있다.

 

a=1 일 때는 x, y 하고 관계없이 1로 일정하다.

 

a<1 이면, a*a<1*a=a 이니까,

a를 곱할수록 수가 작아진다.

역시 실수까지 확장시키면,

a^x > a^y 임을 알 수 있다.

 

종합해보면, r>1 일 때, x < y < 0 < z < w 이면,

r^x < r^y < 1 < r^z < r^w

이런 식으로 된다.

 

그런데, 그 임의의 실수에 0이 포함될 수 있을까?

임의의 실수 a에 a*0=0 이고,

0까지 포함하면, 0*0=0 이게 되면,

0을 계속 곱하면 0이 되고

임의의 실수까지 확장해서 x<y 일 때, 0=0^x = 0^y 이다.

 

이러한 사실로 볼 때,

0^0 이 두 가지로 나타내어질 수 있다.

전자의 임의의 실수 논리로 보면, 0^0=1 이 된다.

하지만 후자의 0의 지수 논리로는 0^0=0 이 된다.

한 가지 형식에 두 가지 값을 가지는 이상 현상이 생긴다.

그리고 1=0 이 되는 모순이 생기게 된다.

두 가지 합당한 논리로 전개했을 때, 

0^0에 대해 모순이 생기므로

0^0 에 대해 1이다 0이다하고 정하는 분야들이 있다.

하지만 통상적으로 그에 대한 정의는 안하는 쪽으로 본다.

 

여기까지 0^0에 대한 얘기이고,

0!에 대해 알아보자.

 

팩토리얼 ( factorial ) 에 대해서는 자연수에 대해 논하는 것이라,

0에 대해서 논하는 건 0^0에 대한 것과 달리 범위를 확장시키는 일이다.

n!은 자연수 n부터 1까지 하나씩 밑으로 내려가면서 곱하는 방식이라,

n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1 = n!

이런 식으로 되고,

저번 포스트에 보였던 것 처럼

n P r = n!/(n-r)! 로 표현했던 것 처럼,

n!=n P n = n!/(n-n)! 로 표현할 수 있다.

우선, n!/(n-n)! = n!/0!= n! 이므로, 

0!=1로 놓아야 식이 성립한다.

또, n!=n*(n-1)!이 되므로,

n=1을 넣으면, 1!=1*0!

0!=1 이 된다.

 

팩토리얼에 대한 논증을 했을 때, 

0!=1로 일관성있게 밝혀지고, 

그렇게 약속해야 이 기호를 이용하는 논증이 부드러워지기 때문에,

0!=1로 약속을 하게 되었다고 보면 된다.

 

0^0 이나 0! 도 기존 논증의 연장해서 일관성을 가지느냐 여부로

정해지고 안 정해지고가 나뉘는 것 같다.

두 결과가 왜 그렇게 되는 지에 대해 간단히 적어보았고,

이에대해 잠시나마 같이 생각할 수 있는 시간이 되었으면 좋겠다.