(a+b)^n

덧셈 법칙을 보면,

a(b+c) = (b+c)a = ab+ac

이다.

 

이 결과를 확장해서

(a+b)(c+d)를 보자.

(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d

=ac+bc+ad+bd

가 된다.

각 괄호의 인자 중 하나 씩 골라서 곱한 것이라고 볼 수 있다.

ac는 앞의 괄호 a와 뒤의 괄호 c를,

bc는 앞의 괄호 b와 뒤의 괄호 c를,

ad는 앞의 괄호 a와 뒤의 괄호 d를,

bd는 앞의 괄호 b와 뒤의 괄호 d를 곱했다.

 

X={ a, b }, Y={ c, d } 일 때,

S={ xy ㅣ x ∈ X ∧ y ∈ Y } 를 만들어

X 원소의 합과 Y 원소의 합을 곱할 때,

S 원소의 합이 된다는 식으로 표현 할 수 있겠다.

 

(a+b)(c+d)(p+q) 를 보자.

(a+b)(c+d)p + (a+b)(c+d)q 가 된다.

각 항을 풀어쓰면,

a, b 중의 한 수와 

c, d 중의 한 수, 

그리고 p, q 중의 한 수를 골라서 곱한 조합의 합이 된다.

 

X={ a, b }, Y={ c, d }, Z={ p, q }일 때,

T={ xyz ㅣ x ∈ X ∧ y ∈ Y ∧ z ∈ Z  } 를 만들어

X 원소의 합과 Y 원소의 합, Z 원소의 합을 곱할 때,

T 원소의 합이 된다는 식으로 표현 할 수 있겠다.

 

( a(1)+b(1) )* ... * ( a(k)+b(k) ) 에 대해서

X_1 = { a(1), b(1) } , ... , X_k = { a(k), b(k) } 라고 할 때,

S_k = { x(1)*...*x(k)ㅣx(1) ∈ X_1 ∧ ... ∧ x(k) ∈ X_k } 를 만들어보자.

x(1)* ... *x(k)의 뜻은 X_1 에서 X_k 까지

각 집합에서 하나만 뽑아서 곱했다는 소리다.

X_1의 원소 합과 순서대로 계속 X_k의 원소합까지 곱한다고하면,

즉, ( a(1)+b(1) )* ... * ( a(k)+b(k) )의 결과가

S_k의 원소의 합이라고 하자.

 

이 때, ( a(1)+b(1) )* ... * ( a(k)+b(k) )*( a(k+1) + b(k+1) )

이 있으면,

( a(1)+b(1) )* ... * ( a(k)+b(k) )*a(k+1) + ( a(1)+b(1) )* ... * ( a(k)+b(k) )*b(k+1)

이 결과인데,

( a(1)+b(1) )* ... * ( a(k)+b(k) )=A+B+ ... + W

이런 식으로 전개될 때, A, B, ..., W를 인자라고하고,

각 인자는 식 ( a(1)+b(1) )* ... * ( a(k)+b(k) ) 

각 괄호의 당 인자 하나만 뽑아서 곱한 값이다. 

그러면,

( a(1)+b(1) )* ... * ( a(k)+b(k) )*( a(k+1) + b(k+1) )

=(A+B+ ... +W)*a(k+1) + (A+B+...+W)*b(k+1)

=A*a(k+1)+B*a(k+1)+ ... +W*a(k+1)+A*b(k+1)+B*b(k+1)+ ... +W*b(k+1)

가 되므로

( a(1)+b(1) )* ... * ( a(k)+b(k) )*( a(k+1) + b(k+1) )

= P + Q + ... +V

로 나타낼 때, 각 인자 P, Q, ... , V 는 

각 괄호 안의 항 중에 하나의 항씩만 골라서 곱한 형태가 된다. 

 

그러므로 모든 자연수 n에 대하여

( a(1)+b(1) )* ... *( a(n)+b(n) )

X_1 = { a(1), b(1) } , ... , X_n = { a(n), b(n) } 라고 할 때,

S_n = { x(1)*...*x(n)ㅣx(1) ∈ X_1 ∧ ... ∧ x(n) ∈ X_n } 를 만들어

X_1의 원소 합과 순서대로 계속 X_n의 원소합까지 곱한다고하면,

S_n 의 원소의 합과 같다.

 

이런 원리에서 (a+b)^n 을 바라보자.

a, b 두 개 중에 하나 고르고 곱하는 걸 n 번 하게 된다.

a^r * b^(n-r) 이런 식의 항이 생긴다는 얘기이다.

이 경우에는 a를 r번 택했고, b를 n-r 번 택해서 나온 결과이다.

 

곱하는 인수 구성이 같으면 순서가 어떻게 되든 결과가 같다.

예를 들면, aba=aab=baa 이렇게 된다.

 

그렇다면 (a+b)^n 에서 a^r * b^(n-r) 이 몇 개가 있는지 살펴보자.

r은 0을 포함한 1에서 n까지 자연수가 들어갈 수 있다.

a를 선택할 경우만 생각하면,

b의 경우는 자동적으로 따라오므로

a의 경우만 보면 되겠다.

n번의 기회 중에서 a를 r번 선택할 경우를 파악하면,

나머지는 b자리이니, a를 r번 선택할 경우만 생각하면 되고,

그 다음에 a가 같은 문자가 몇 번 선택되었는지 파악해 나누면 될 것이다.

같은 문자는 순서와 관계가 없기 때문이다.

 

일단 첫 번째 경우는

n P r = n!/(n-r)!

로 표현할 수 있다.

 

첫 번째 경우에서 두 번째 경우를 실행해보자.

같은 문자가 r번 나왔으므로,

r!을 나누어 준다.

그러면, n!/(r!*(n-r)!)=n P r / r!

이 경우는 n C r 로도 표현이 가능하다.

 

여기서 잠깐 n P r 과 n C r 의 차이를 살펴보자.

n P r 은 n개 중 r개를 순서대로 고르는 경우,

n C r 은 n개 중 r개를 순서 상관없이 고르는 경우의 수를 표현한다.

n P r 에서 r개 골랐던 거에 순서를 제거한 것이므로,

n C r = n P r / r! 이 되는 것이다.

 

(a+b)^n 에서 a^r * b^(n-r) 의 개수는 n C r 개이다.

(a+b)^n 의 값은

n C r * a^r * b^(n-r) 에서

r 에 0을 포함하여, 1부터 n까지 자연수를 대입한 것의 합이 된다.

여기서 주의할 점은 a, b가 0 이 아니어야 한다.

a, b 둘 중 하나가 0 이면, a^n 혹은 b^n 으로 표현하면 될 일이고,

둘 다 0 인 경우는 n이 자연수인 경우는 관계 없다만,

0인 경우는 정의하지 못하니 유의하길 바란다.

 

예를 들면, 

(a+b)^2 = 2 C 0 * a^0 * b^2 + 2 C 1 * a^1 * a^1 + 2 C 2 * a^2 * b^0 

= 2!/(0!*(2-0)!) * 1 * b^2 + 2!/(1! * 1!) * a * b + 2!/(2!*(2-2)!) * a^2 * 1

=b^2 + 2ab + a^2

= a^2 + 2ab + b^2

이 되는 것이다.

 

0부터 n까지 더한다는 의미를 기호로

∑ ( r=0 , r=n)

이걸 집어 넣으면,

( a + b ) ^ n

=  ∑ ( r=0 , r=n) ( n C r * a^r * b^(n-r) )

로 표현 할 수 있다.