수열의 극한 Limit of a sequence

집합 하나가 있을 때,

각 원소에 순서를 매기면 순서가 있는 집합이 되고,

집합의 원소가 수이면, 수열이 된다.

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대충 이런 식이다.

이 경우는 집합이 유한한 경우이고,

집합 원소가 수이고 저런 식으로 유한한 집합이 순서가 있을 때는

유한 수열이라고 한다.

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수의 무한 집합에 순서를 정하면 무한 수열이 된다.

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이런 수열에 패턴이 있으면, 일반항을 구할 수 있고,

몇 번 째 항의 원소가 무엇인지를 파악할 수 있다.

예를 들어 수열이 { 1, 2, ... , n , ... } 이런 식으로 되어있으면,

n 번째 항이 n이 된다는 것을 알 수 있다.

하지만 끝의 항이 뭔지 알 수 없는 수열이다.

그냥 무한히 늘어나는 수열이니까, 무한대(∞) 기호를 써서 발산한다고 표현한다.

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반면에, 항은 무한하나 끝의 항이 특정 수가 되는 수열이 있다.

그런 수열은 수렴하는 수열이라고 할 수 있다.

그런데, 이런 걸 말로만 나타내면 실체를 명확하게 파악하기 힘드니

어떻게 형식적으로 나타낼 수 있을지 생각해보자.

어떤 무한 수열의 수렴하는 수가 L 이라고 해보자.

그러면 이런 수열은 굉장히 뒷 순서에 있는 수가 L 과 적은 차이를 보이는 것을 알 수 있다.

수열의 항이 L 과 임의의 오차 범위 이내로 접근한다는 얘기인데,

이런 말로 하면 명확성이 떨어지지 않겠는가?

형식으로 나타내면 다음과 같이 적을 수 있을 것이다.

굉장히 뒷 순서에 있는 수를

자연수에 속하는 M이란 수가 존재하여 M 보다 모든 큰 수 n 이 있으며,

수열의 n번째 항인 a_n 이라 적었고,

그 수가 L 의 차이가 얼마 안 나는 걸

a_n과 L 의 차이가 임의의 0보다 큰 ε 보다 작다고 표현했다.

이런 거를 다른 식으로

이렇게 표현한다. 항의 순서가 진행될 수록 L에 근접한다는 얘기다.

즉, 수열의 극한이 L 이란 얘기다.

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좀 전에 보였던 두 형식이 같은 소리라는 얘기다.

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그러면 이렇게 만들어진 형식에서 극한이 유일할 지를 알아보자.

이런 증명에서는 증명하고자 하는 명제의 부정이 옳다는 가정을 하여

모순임을 밝혀 본 명제가 참임을 증명하는 귀류법이란 방법을 써서 증명을 많이 한다.

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저 위의 형식에서 극한 값이 서로 다른 수 L과 K 으로 수렴한다고 가정하고,

L < K 이라고 가정해보자.

이렇게 전개할 수 있고,

임의의 0보다 큰 ε에 대해 성립하므로,

빨간색, 파란색 두 값이 같게 ε을 만들면,

ε = ( K - L )/2 > 0

이므로, 위 값에 대해서도 성립한다 할 수 있다.

이 논리에서 봤을 때, 등호, 부등호 관계는

이렇게 되는데, a_n 이 a_n 보다 크다는 사실은 모순이고,

이 결론은 처음에 했던 가정 극한이 유일하지 않다는 것으로부터 도출해낸 결론이므로,

처음했던 가정이 틀렸다는 것을 알 수 있다.

따라서 처음했던 가정의 부정인 본 명제

극한은 유일하다는 사실을 증명해낸 것이라 볼 수 있다.

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여기서 크기가 서로 다른 극한을 가진 수열들을 생각해보자.

이런 것들 말이다.

만약 이게 성립하면, M이 존재해서

모든 n > M인 n에서 a_n < b_n 가 성립한다고 한다.

이걸 한 번 보여보자.

즉, 바로 앞에 언급한 명제가 맞음을 증명했다.

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수렴하는 수열에는 수열의 수가 존재하는 범위가 있을 것이다.

이런 성질을 가진 수열을 유계 수열이라 일컫는데,

이런게 당연하지 않냐고 하지만 조금 명확하게 하기 위해서

형식적으로 따져보도록 하자.

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아까봤던 이 형식에서 따지면,

ε = 1 인 M 도 존재함을 알 수 있을 것이다.

1 이 0 보다 크니까 말이다.

굳이 1을 가지고 온 이유는 수열의 범위가 있는지를 파악하는 거기 때문에

범위 파악을 쉽게 할 만한 수를 가져 왔다.

여튼, 전개를 해보자.

여기에서 수열의 절대값의 최대값은

유한집합의 최대값을 구하는 걸로 바꿀 수 있으며,

이렇게 나타낼 수 있을 것이다.

저 형식은 중괄호 안에 있는 것 중에 가장 큰 수라는 뜻이다.

예를 들어 max { 1, 2, 3 } = 3 이런 식이다.

M보다 큰 수 n에 대해서 a_n 의 절대값이 1+l L l 보다 작으니,

괄호 안에 저 것을 넣었다.

그러면, 이 절대값으로 된 집합의 임의의 항은 G보다 작거나 같기 때문에

수열은 -G에서 G 까지 범위 내에 있음을 알 수 있다.

즉, 수렴하는 수열은 존재하는 범위가 있으며, 이는 유계 수열이라는 뜻이 된다.

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수열이 있을 때 거기에서 일부를 따로 빼내서 수열을 만든 수열을 부분 수열이라 한다.

예를 들어 B는 A 원소 중 홀수 번째 원소만 빼내서 수열을 만들었으므로,

B는 A의 부분 수열이 된다.

조금 더 일반화해서 표현하면,

이런 식으로 표현할 수 있다.

부분 수열과 본 수열의 극한이 같은 지를 알아보자.

일단 M보다 큰 k가 있을 때, n(k)는 k 보다 크거나 같을 것이다.

자연수 중에서 순서대로 띄엄띄엄 고른 것 중에 k번 째로 고른 수가 k 작을 리 없지 않는가?

임의의 k에 대해, n(k) > = k > M 이므로,

ㅣa_n(k) - L ㅣ< ε

이므로,

이게 성립한다.