가우스 소거법과 벡터의 차원 Gaussian elimination and dimension of vectors

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연립방정식의 해를 구하는 방법 중에

한 방정식과 다른 방정식을 연산하여 나타내는 식으로 진행하는 방법이 있다.

이런 식으로 계속 진행해서 마지막 줄에 미지수 하나만 남게 하여

x_n 값을 구하고, 연쇄적으로 다른 미지수도 구할 수 있도록 만든다.

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m > n 이면,

이런 식으로 되는데, 일반적으로 이럴 경우 x_n 값이 달라지기 때문에,

m > n 일 때 연립방정식의 해가 없다고 하는 것이다.

그래서 이 때 연립방정식의 근사치를 이전 포스트에서 구했었다.

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m < n 일 때는 위와 같이 되어서

x_m 부터 x_n 까지 미지수 값을 정하는 대로 변동이 되므로

근이 무수히 많다고 하는 것이다.

x_m 에서 x_n 까지 정한 것으로 나머지 미지수도 구할 수 있다.

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m = n 일 때는

x_n을 구하고 연쇄적으로 다른 미지수도 구할 수 있다.

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벡터들의 모임을 행렬로 표현할 수 있으므로,

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이런 경우 행렬로 표현했을 때,

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이런 식이 되고,

파란색 행은 벡터들의 일차 결합의 결과임을 알 수 있다.

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이런 과정이 계속되어 가우스 소거법의 결과로 나온 행렬의 각 행은

여러 벡터들의 일차 결합의 형태라 볼 수 있다.

 

 

이렇게 한 가우스 소거의 전체 그림을 보면

빨간 영역 바깥에 수는 0 이 되는 행렬이 될 것인데,

이를 행사다리꼴 행렬이라고 한다.

빨간 영역의 수 중에도 0인 수가 있을 것인데,

가우스 소거를 해서 이렇게 0이 아닌 수의 시작이 같은 행끼리

행들 간의 0이 아닌 수의 시작 열이 다를 때까지 가우스 소거를 할 수 있을 것이다.

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가우스 소거를 위 방법과 같이 하고나서 결과에 대해 생각해보자.

가우스 소거법에서 하는 일차 결합은

0을 곱해서 하는 것은 소거시키는데 의미가 없는 행위이므로,

0이 아닌 수로 일차 결합을 하게 된다.

이 때 나온 값이 영벡터라면, 이는 필시 일차 종속이 된다.

일차 종속이면 다른 벡터로 나타낼 수 있다는 얘기이므로,

행렬이 영벡터 제외 벡터 m 개 있는 모임을 표현한 것이라면,

소거법으로 영벡터가 k개( 0 =< k =< m-1) 나올 때,

벡터들이 이루는 차원은 m - k 차원이 된다.