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교육/수알못시리즈

선형 변환 Linear transformation

뭔가 분석할 때 조금 깊이 들어가면 선형적이다 비선형적이다 이런 얘기들이 많다.

무슨 사람 이름 같기도 한데, 선형이란 건 선의 형태란 뜻이다.

영어에서 linear가 line 과 연관이 되어있다.

그리고 선 중에서도 직선과 연관이 되어있다.

원점을 지나는 직선의 성질과 같아서 그렇게 부르는 모양이다.

원점을 지나지 않는 직선이라도 평행이동시켜서 원점을 지나게 할 수 있지 않는가?

그러니 직선의 성질하고 연관 있다고 볼 수 있겠다.

사실 필자도 어디서 어떤 식으로 연루되었는지는 잘 모른다.

무책임하게 보이겠지만, 괜히 잘못된 걸 어거지로 말하는 것 보다는 괜찮다고 본다.

일단 원점을 지나는 직선부터 살펴보자.

원점을 지나는 직선은 좌표평면에서 표현하면,

y = ax , a는 임의의 실수

이런 식으로 표현할 수 있을 것이다.

그리고 정의역을 x 축으로 하고 공역을 y 축으로 하는 함수를 정하면,

f : R -> R

이렇게 된다. 그리고 y = f(x) 가 된다.

y = f(x) = ax 이렇게 된다.

x 자리에 n을 넣어보면, f(n) = an 이 되고,

n에다 임의의 상수 k를 곱한 kn을 넣어보자.

그러면 f(kn) = k(an) = k f(n) 이 된다.

x 자리에 n+m 을 넣어보자.

그러면, f ( n+m ) = a(n+m) = an + am = f(n) + f(m) 이 된다.

이 두 성질을 합치면 f ( pn + qm) = p f(n) + q f(m) 이 된다.

p, q 는 임의의 상수이다.

선형 변환이란 것이 원점을 지나는 직선의 이런 성질을 보고 짓지 않았나 생각든다.

여튼 이 변환의 성질은 정의역 원소를 넣는 것을 input ( 인풋) 이라하고,

결과로 나오는 치역의 원소를 output ( 아웃풋 ) 이라고 할 때,

인풋의 연산 조합 형식과 아웃풋의 연산 조합 형식이 같다는 점이다.

인풋의 두 원소를 더한 값 넣으면 아웃풋도 두 원소의 변환을 더한 값이 나오고,

인풋의 한 원소에 상수곱한 값을 넣으면 아웃풋 또한 한 원소의 변환값에서 상수곱한 값이 나온다는 얘기다.

이게 중요한 점이 인풋을 넣었을 때, 아웃풋이 어찌 나올 지 예상된다는 점에서 분석하기 쉬운 변환이란 얘기다.

그래서 분석할 때, 선형 변환을 많이 사용하는 이유이기도 하다.

대신에 정확도나 유연성이 부족한 분석 도구가 되기도 한다.

뭐든지 일장 일단이 있는 것 같다.

이런 선형 변환을 수에서 더 확장할 수 있는데,

L : S -> T

라는 변환이 있고, v, w 를 S 의 원소라고 할 때,

L ( v + w ) = L ( v ) + L ( w)

L ( kv ) = k L (v), k는 임의의 상수

가 성립하면, L은 선형 변환이라 할 수 있다.

예를 들어 행렬에 대해서

L ( X ) = AX

일 때,

L ( X+Y ) = A(X+Y) = AX + AY = L ( X ) + L ( Y )

L ( tX ) = AtX = tAX = t L ( X ) , t는 임의의 상수

가 되므로, 행렬 AX는 선형 변환이 된다.

한 행 혹은 한 열만 있는 행렬은 벡터로 표현 가능하므로,

행렬은 벡터 또한 선형 변환을 시켜준다.

그래서 행렬을 선형 변환의 수단으로 많이 쓴다.

변수가 하나일 때의 선형 변환도 있지만,

변수가 많을 때의 선형 변환도 생각해 볼 수 있을 것이다.

규칙은 이런 식으로 짤 수 있겠다.

이런 식으로 되는 걸 다중 선형 변환이 된다고 할 수 있다.

이게 성립하는 게 대표적으로 행렬식이다.

n x n 행렬을 실수로 만드니

det : R^(n x n) -> R

이런 식으로 만들면, det 함수는 다중 선형 변환이 된다고 할 수 있다.

선형 변환에 대해 간단히 알아보았다.

놓친 부분들도 있겠지만,

보고 조금이라도 도움이 되었으면 한다.