벡터와 그 연산 Vector and its operation

세상을 볼 때, 양만으로 해석할 수 있는 것도 있지만,

방향까지 같이 봐야하는 것도 있다.

이런 것을 표현할 때 쓰는 게 벡터(vector)라는 것이다.

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벡터라는 단어는 라틴어 단어로써 영어로 표현하면 carrier, transporter 라는 뜻을 가진 단어였다고 한다.

한국어 식으로 표현하면 뭔가를 옮기는 것이라는 뜻이 될 것이다.

필자는 벡터라는 단어가 물체의 작용을 표현할 때 쓰는 것에서부터 사용이 시작된 것으로 알고 있다.

물체를 건드리면 작용해서 움직이니

이 현상을 기호나 기하학적 형상으로 표현한 것을 벡터라고 이름짓는 건 타당하다고 볼 수 있겠다.

보통 벡터는 화살표로 표현한다.

화살표의 길이는 벡터의 크기를 말하며, 방향은 작용한 방향을 의미한다.

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벡터라는 개념은 수학이 아니라 물리학 분야에서 나온 것으로 알고 있지만,

수학이란게 기호 논리가 나오면, 그걸 일반화해서 거기에 대해 체계적인 논리를 다지는 학문 아니겠는가?

위에 그림에서도 보다시피 물체를 일반화하여 점으로 표현하고 있으니, 앞의 문장의 예시라 볼 수 있다.

수학에서 대상의 논리를 다룬다는 건 연산할 수 있는 대상으로 만든다는 얘기가 되므로,

벡터도 연산할 수 있는 대상으로 만들기 위해 여러가지를 정의해야 할 것이다.

가장 쉽게 접근하여 정의할 수 있는 것이 덧셈에 대한 정의가 될 것이다.

뺄셈이야 덧셈의 역연산을 하면 되므로 따로 정의할 필요는 없을 것이다.

여기에 점 A,B,C 가 있는데,

점 A 를 점 B 위치에 옮겼다가 점 C 위치에 옮긴 것과

점 A를 점 C 위치에 바로 옮긴 거는

최종적인 점 A의 변화만 보면 같은 작용이 된다.

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벡터를 통상적으로 기호 위에 화살표를 그리지만,

수식란을 이용해서 그리면 글 용량이 너무 많아지고 여러모로 불편해서

V(A, B) 이런 식으로 표현할 것이다.

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벡터를 V(시작점, 작용 후 변화한 위치)로 표현하면,

파란 벡터를 V(A,B) 라 할 수 있으며,

초록 벡터를 V(B,C) 라 표현 가능할 때,

V(A,C)의 결과는

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V(A,C) = V(A,B) + V(B,C)

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로 표현할 수 있다.

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V( A, B) 와 V( B, A) 를 더해보자.

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V(A, B) + V (B,A) = V(A,A) = V(0)

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그러면, 시작점과 작용 후 위치가 같아진다.

움직이지 않은 것과 같으므로 이런 거는 영벡터라고 부를 수 있다.

기호로는 V(0) 이라고 표현하겠다.

영벡터는 벡터 덧셈의 항등원이라 할 수 있다.

움직인 후에 안 움직이기 때문이다.

더해서 영벡터가 되는 것들은 수의 연산처럼 서로 덧셈의 역원이라 할 수 있겠다.

그러면, V(A,B) 와 V(B,A)는 서로 덧셈의 역원이며,

수의 덧셈의 역원을 '-' 기호를 붙여서 표현한 것과 같이

벡터에도 이와같이 표현할 수 있을 것이다.

그러면, V(B,A) = - V(A,B) 로 표현할 수 있을 것이다.

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갔던 길을 되돌아오면 역작용이 되므로 저렇게 표현하는 것은 타당하다 볼 수 있다.

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V(A,C) = V(A,B) + V(B,C)

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여기에서, C에서 B로 되돌아 가는 것을 계산하면,

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V(A, C) + V( C, B) = V(A,C) - V(B,C) = V(A, B)

​

이렇게 될 것이다.

그리고, 연산의 일관성을 유지하기 위해

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V(A,C) - V(A,B) = V(B,C) 가 되어야 할 것이다.

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이러한 연산은 단순 점의 작용만으로는 직관적으로 이끌어내기 어렵다.

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그러면, 기존 삼각형에 평행사변형을 그려서 생각해보자.

그러면 새로운 점 B' 가 나타날 것이다.

그리고 계산은

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V(A,B') + V(B',C) = V(A, C)

​

V(A,C) - V(B',C) = V(A,B')

​

이렇게 가능할 것이다.

여기서 크기가 같고 평행한 벡터의 크기는 같은 벡터다라고 정의하면,

여기서 노란색 벡터와 초록색 벡터가 평행하고,

파란색 벡터와 보라색 벡터가 평행이기 때문에,

V(A, B') = V(B,C)

V(B', C) = V(A,B)

가 되므로,

V(A,C) - V(A,B) = V(B,C)

가 될 수 있다.

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크기가 같고 평행한 벡터의 크기는 같다는 정의로 벡터의 덧셈 연산은 일관성을 가지게 되었다.

이것으로 벡터의 덧셈은 삼각형을 그려서나 평행사변형을 그려서 할 수 있음을 알 수 있다.

삼각형을 그리면 삼각법, 평행사변형을 그리면 평행사변형법 이런 식으로 부르기도 한다.

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덧셈은 이런 식으로 정의하고 다룰 수 있었는데,

곱셈에 관해서는 어떻게 다룰 지 알아보자.

벡터의 곱셈은 수의 곱셈과 다르게

내적 ( dot product ) 과 외적 ( cross product ), 두 가지가 있다.

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내적은 물체에 작용한 일이 얼마나 되는지 알아보려고 만든 것이고,

외적은 물체의 회전의 정도를 알아보려고 만든 것이다.

이 둘은 연산 기호가 다른데,

내적은 ' ⋅ ' 을 이용해서 연산하고, 외적은 ' x ' 을 이용해서 연산한다.

연산하는 기호 때문에 영어로는 각각 dot 과 cross 를 붙여서 부른다.

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물체에 작용한 힘에 대해서 먼저 얘기해보자.

물체를 f 의 힘으로 s만큼 거리를 이동시켰다고 하면,

물체가 한 일은 w는 fs 가 될 것이다.

물체의 이동 방향과 힘이 같으면 별 문제가 없다.

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만약 물체에 작용한 힘이 물체의 이동 방향과 평행하지 않는 경우는 어떻게 표현할 수 있을까?

이런 식으로 말이다.

여기서 물체의 이동방향에 해당하는 힘으로 한 일은

힘과 물체의 이동방향이 일치할 때하곤 다를 것이다.

이 때 한 일은 f를 빗변으로 하는 직각삼각형을 만들어서 정할 수 있을 것이다.

밑변을 물체의 이동방향과 평행하게 했을 때,

이 때, 한 일은 f cos(θ) 와 거리 s 의 곱과 같을 것이다.

즉, fs cos(θ) 가 한 일의 양이 된다.

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힘과 거리를 벡터로 나타낸 것을 각각 V(f), V(s) 라고 하면,

​

V(f) ⋅ V(s) = fs cos(θ)

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이렇게 정의하면, 벡터로 일의 양을 연산할 수 있을 것이다.

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여기서 벡터의 내적을 확장하면,

V(a) 의 크기를 a

V(b)의 크기를 b 라고 할 때,

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V(a) ⋅ V(b) = ab cos ( θ )

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이렇게 된다.

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이번에는 물체의 회전에 대해 얘기해보자.

빨간색 점이 고정되어있을 때,

화살표 방향으로 f만큼 힘을 준다면

길이가 s인 작대기의 형상이 변하지 않을 때,

작대기는 어떻게 움직이겠는가?

회전하며 움직일 것이다.

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회전의 정도를 어떻게 표현할 수 있을까?

일단 크기는 f와 s를 곱하면 될 것 같다.

만약에 f가 작대기를 고정된 곳으로 누르거나 반대방향으로 움직인다면,

작대기는 회전을 하지 않을 것이다.

그렇기 때문에 회전의 정도가 fs 가 되려면

회전 방향과 작대기는 수직해야 한다.

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그렇다면 수직하지 않는 경우는 어떻게 될까?

회전은 수직 성분만 작용되므로

회전의 크기는 fs sin ( θ ) 가 된다.

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하지만, 회전에는 크기 뿐만이 아니라 방향까지 정해져 있는지라

회전을 벡터로 나타내어야 할 것이다.

그리고 이 벡터는 주어진 두 벡터와 모두 수직해야 한다.

그렇기 때문에 벡터의 외적은 3차원에서 다뤄야한다.

벡터의 외적을 다룰 수 있는 다른 차원이 있다지만,

3차원에서 다룬 것들이 주로 쓰이므로

3차원에서만 얘기하도록 하겠다.

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일단 회전의 양, 음을 정할 것인데,

벡터를 다루는 게 물리학에서 나온 것이라

물리학에서 나온 걸 적용할 수 밖에 없다.

오른 나사 법칙이란 것 때문에

시계 반대 방향으로의 회전을 양이라고 둘 것이다.

그러면 시계 방향으로의 회전은 음이 될 것이다.

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회전 방향 기준을 알았으니,

두 벡터의 외적 연산을 어찌할 지 정할 수 있을 것이다.

빨간 점에 고정된 빨간 작대기에

벡터 f를 V(f) 라고 할 때, V(f)의 힘을 줄 때,

빨간 작대기는 점에 고정되어있으려고 점으로 힘이 갈 것이다.

힘이 그림과 같이 주어지니 시계 반대방향으로 회전할 것이다.

벡터 곱의 순서는 작용의 원인이 힘이니 V(f)부터 적고,

그 다음에 작용하는 힘이 V(s)라서 이걸 나중에 적는다.

이를 표현하면,

​

V(f) x V(s)

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이렇게 표현할 것이다.

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순서를 달리하면 어찌되는지 보자.

f가 작대기가 되고 s가 힘이 된 격인데,

회전은 초록색 고정점 기준으로 시계방향으로 회전하게 될 것이다.

즉, 두 벡터 곱의 순서를 바꾸니 회전 방향이 달라진다는 얘기이다.

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이걸 표현하면 다음과 같을 것이다.

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V(s) x V(f) = - V(f) x V(s)

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벡터 외적은 교환법칙이 성립이 되지 않음을 알 수 있다.

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벡터의 외적을 정리하면 아래 그림과 같다.

벡터 기호 양쪽에 작대기 씌운 거는 벡터의 크기라는 뜻이다.

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벡터의 개략적인 설명과 벡터의 연산에 대해 얘기를 했다.

벡터 덧셈은 삼각법과 평행사변형 법으로 할 수 있고,

벡터의 곱셈에 해당하는 거는 내적과 외적이 있는데,

내적은 끈 당기는 거 외적은 끈 회전시키는 거와 관련있다고 보면 된다.