피타고라스 삼조라는게
피타고라스 정리 a^2 + b^2 = c^2 에서
a, b, c 모두 정수인 이 조를 갖다가 피타고라스 삼조라고 한다.
예를들어 3, 4, 5 가 피타고라스 삼조에 해당한다.
이것 말고도 다른 조들도 있긴 하다.
예를 들어 5, 12, 13 도 피타고라스 삼조에 속한다.
사실, 일일히 계산해서 찾을 수는 없는 일이다.
그렇다면 일반화를 하면, 수만 대입하면 되니까 찾기 쉬울 것이다.
피타고라스 수가 되는 조건을 생각해보자.
a, b, c 가 피타고라스 삼조라고 해보자.
그러면, a^2 + b^2 = c^2 이다.
여기에서 식을 달리해보자.
a^2 = c^2 - b^2
= (c-b)(c+b)
여기서 a^2 를 이항시켜 보자.
1 = (c-b)(c+b) / a^2
= ( (c-b)/a )* ( (c+b)/a )
여기에서 (c-b) / a = n/m 이라고 하면,
(c+b) / a = m/n 이 된다.
여기서 m과 n은 정수이다.
이 값들을 더하면,
m/n + n/m = 2c / a
m/n - n/m = 2b / a
이렇게 되고 이걸 조금 형태를 바꿔보자.
( m^2 + n^2 ) / 2mn = c / a
( m^2 - n^2 ) / 2mn = b / a
여기서 a, b, c 의 비율은 알 수 있다.
a : b : c = 2mn : ( m^2 - n^2 ) : ( m^2 + n^2)
그러면 피타고라스 삼조를
( a, b, c ) = ( 2mn , ( m^2 - n^2 ) , ( m^2 + n^2) )
이런 식으로 만들 수 있을 것이다.
이게 피타고라스 삼조의 일반항이다.
굳이 가장 작은 수부터 크기 순서로 넣고 싶다면,
( a, b, c ) = ( min ( 2mn, ( m^2 - n^2 )) , max ( 2mn, ( m^2 - n^2 )) , ( m^2 + n^2) )
로 짜면 되겠다.
min ( a, b) 는 a, b 중 작은 수를 뜻하며,
max ( a, b) 는 a, b 중 큰 수를 뜻한다.
굳이 자연수를 삼조의 조합으로 넣고싶다면,
0 < n < m
의 조건을 넣으면 될 것이다.
이렇게 해서 자연수의 피타고라스 삼조를 찾아낼 수는 있다.
찾아낸 피타고라스 삼조에서 어떤 자연수를 곱해도 피타고라스 삼조가 된다.
a,b,c가 피타고라스 삼조라고 할 때, 자연수 k를 곱해서
ka, kb, kc 가 삼조가 되는지를 보겠다.
(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 * a^2 + k^2 * b^2
= k^2 (a^2 + b^2)
= k^2 * c^2
= (kc)^2
즉, a, b, c 가 피타고라스 삼조이면,
ka, kb, kc 가 피타고라스 삼조가 된다.
하나의 조가 삼조일 때, 정수를 곱하면 삼조가 나오게 됨을 알았다.
a, b, c 와 ka, kb, kc 를 같은 종류라고 했을 때,
해당 종류 중에서 가장 작은 삼조를 찾고 싶다.
그럴려면 피타고라스 삼조가 a, b, c 일 때,
a와 b는 서로소가 되어야 할 것이다.
a, b 모두가 짝수가 되면 안된다는 얘기이기도 하다.
모두 홀수가 될 수 있을지 확인해보자.
a = 2k + 1, k는 임의의 정수
b = 2l + 1, l은 임의의 정수
라고 할 때,
a^2 + b^2 = ( 2k + 1 )^2 + ( 2l + 1) ^2
= 4k^2 + 4k+1 + 4l^2 + 4l + 1
= 4k^2 + 4k + 4l^2 + 4l +2
= 2( 2k^2 + 2k + 2l^2 + 2l +1 ) = c^2
이 때 c^2 은 2의 배수이므로, c^2 은 2^2 = 4 의 배수가 되어야 한다.
그렇다면 괄호 안의 수도 짝수가 되야 할 것이다.
하지만, 괄호안의 수 2k^2 + 2k + 2l^2 + 2l +1 는
2(k^2 + k + l^2 + l ) + 1 이므로 홀수가 되므로, 모순이다.
즉, a, b가 모두 홀수 일 때도 피타고라스 삼조를 만들 수 없다.
피타고라스 삼조가 될 수 있는 조건은
a와 b 중 하나는 홀수, 하나는 짝수 이면서, a, b 는 공약수가 없는 서로소가 되어야 한다.
그러면 c는 홀수가 되어야 할 것이다.
홀수의 제곱은 홀수, 짝수의 제곱은 짝수이고
홀수와 짝수를 더한 결과는 홀수가 되기 때문이다.
( a, b, c ) = ( min ( 2mn, ( m^2 - n^2 )) , max ( 2mn, ( m^2 - n^2 )) , ( m^2 + n^2) )
0 < n < m
이 조건에서
m과 n이 공약수가 있다고 하면,
m = kx , n=ky
m^2 - n^2 = (kx)^2 - (ky)^2
= k^2 * ( x^2 - y^2)
2mn = 2k^2 * xy
2mn 과 m^2 - n^2 가 공약수가 있어서 서로소가 안된다.
그러므로 m과 n이 서로소여야 한다.
그리고 2mn이 짝수이므로, m^2 - n^2 는 홀수여야 한다.
m^2 - n^2 = ( m+n)(m-n)
m, n 에서 하나는 홀수 하나는 짝수여야 한다.
즉, m, n 둘은 서로소 관계이며, 하나는 홀수 하나는 짝수여야 한다.
원시 피타고라스 삼조 몇 개 조를 표로 만들어 보았다.
|
m |
n |
a |
b |
c |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
|
3 |
2 |
5 |
12 |
13 |
|
4 |
1 |
8 |
15 |
17 |
|
4 |
3 |
7 |
24 |
25 |
|
5 |
2 |
20 |
21 |
29 |
|
5 |
4 |
9 |
40 |
41 |
|
6 |
1 |
12 |
35 |
37 |
|
6 |
5 |
11 |
60 |
61 |
|
7 |
2 |
28 |
45 |
53 |
|
7 |
4 |
33 |
56 |
65 |
|
7 |
6 |
13 |
84 |
85 |
|
8 |
1 |
16 |
63 |
65 |
|
8 |
3 |
48 |
55 |
73 |
|
8 |
5 |
39 |
80 |
89 |
|
8 |
7 |
15 |
112 |
113 |
|
9 |
2 |
36 |
77 |
85 |
|
9 |
4 |
65 |
72 |
97 |
|
9 |
8 |
17 |
144 |
145 |
|
10 |
1 |
20 |
99 |
101 |
|
10 |
3 |
60 |
91 |
109 |
|
10 |
7 |
51 |
140 |
149 |
|
10 |
9 |
19 |
180 |
181 |
|
11 |
2 |
44 |
117 |
125 |
|
11 |
4 |
88 |
105 |
137 |
|
11 |
6 |
85 |
132 |
157 |
|
11 |
8 |
57 |
176 |
185 |
|
11 |
10 |
21 |
220 |
221 |
|
12 |
1 |
24 |
143 |
145 |
|
12 |
5 |
119 |
120 |
169 |
|
12 |
7 |
95 |
168 |
193 |
|
12 |
11 |
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