삼각형과 사각형의 넓이 Area of triangle and quadrangle

도형의 넓이를 수로 나타낼 수 있다면,

도형을 조합하여 연산할 수 있고,

이에 대해서 명확하게 논증을 할 수 있을 것이다.

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도형의 넓이를 나타내기 위해서는 도형에 있는 선의 길이나 선 사이의 거리를 얘기해야하며,

그러기 위해서는 합동에 대해 얘기하고 평행, 직사각형에 대한 얘기를 하면서 넓이를 말할 것이다.

합동은 두 도형을 겹쳤을 때 일치하게 되면 성립되는 조건이다.

합동에 대해 얘기를 하려면 평면이 이뤄질 조건을 언급하면 접근이 쉬워질 것 같다.

그래서 평면이 이뤄지는 조건부터 보도록 하겠다.

기본적으로 직선과 직선 밖에 있는 점이 있으면, 평면을 만들 수 있다.

여기에 저 직선에 임의의 점을 찍고, 밖에 있는 점과 연결하여 직선을 만들어보자.

그러면, 한 점에 교차하는 두 직선으로도 평면을 만들 수 있게 된다고 할 수 있다.

이 그림에서 점을 하나 더 찍고,

여기에 직선을 없애보자.

그러면, 한 직선 내에 있지 않은 세 점으로 평면을 만들 수 있게 된다고 볼 수 있다.

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또 여기에서 위에 있는 점을 지나고 아래의 직선과 평행한 직선을 그어보자.

그리고, 평행하는 두 직선만 남겨보자.

두 평행하는 직선으로 평면을 만들 수 있다는 조건이 생긴다.

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정리하면 4가지 조건이 나오는데,

그림과 같이 보면서 앞에 했던 논증을 상기해보자.

1. 한 직선과 직선 밖의 한 점

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2. 한 점에 교차하는 두 직선

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3. 한 직선 내에 있지 않는 세 점

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4. 두 평행한 직선

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이 조건들을 이용해서 삼각형의 합동을 생각해보자.

길이가 정해진선분이 하나 있고,

선분 양 끝에 선분과의 각이 각각 a, b인 직선을 평행하지 않게 그어보자.

평면의 성립 2번 조건 처럼, 두 직선이 같은 평면에 있다면, 한 점에서 만날 것이다.

선분의 양 끝과 두 직선이 각각 만나기 때문에,

두 직선과 선분도 한 평면에 있다고 할 수 있다.

즉, 처음에 언급했던 직선의 교점과 선분이 한 평면에 있다고 할 수 있다.

두 직선이 만들어내는 평면과 교점과 선분이 만들어내는 평면이 동일하다는 얘기다.

그리고 이 점은 평면 내에서 유일하기 때문에,

해당 선분 길이에서 위 그림과 같은 조건이면

평면 위에서 유일한 삼각형이 된다.

즉, 선분 길이가 같고, 양 끝의 각이 같으면 서로 합동이란 얘기다.

( ASA 합동, A는 각(angle), S는 변(side)의 머릿글자이다. )

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이번엔 두 선분의 길이가 정해지고, 한 각이 정해진 경우를 보자.

이 때 a를 두 선분의 사이각이라고 하자.

이 때 선분의 끝은 세 개의 점이 된다.

두 개의 선분은 공통 점이 있으므로,

평면 성립 2번 조건에 의해 두 선분은 한 평면에 있고,

평면 내에서 연결 안 된 두 점을 연결할 선분은 유일하므로,

두 선분의 길이가 같고, 사이각이 같은 삼각형이면 서로 합동이 된다.

( SAS 합동 )

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위의 두 조건들을 보게되면, 각 선분의 길이가 정해졌다는 사실을 알 수 있다.

즉, 세 변의 길이가 같으면 합동이 된다는 사실이다.

(SSS 합동)

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이 합동을 통해서 평행한 직선의 각 점에서의 거리를 생각해보자.

우선 한 점에서 직선까지의 거리를 생각해보도록하자.

한 점에서 직선과의 거리는 그 점에서 직선에 내린 수선의 길이이다.

수선이 점과 직선의 가장 짧은 경로이기 때문이다.

이에 대한 자세한 내용은

왜 정다면체는 5개 뿐일까? Why does the world have only 5 platinic solids?

링크에 걸린 포스트를 보면 될 것이다.

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여기에 응용해서 평행하는 직선에 수직선을 두 개 그어보자.

여기에서 서로 다른 수직선에 대각선을 그어보자.

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그러면, 엇각들이 나오고, 나눠진 삼각형 두 개를 보게 되면,

대각선을 공통으로 가지며, 두 개의 엇각이 같으므로,

ASA 합동으로 두 삼각형이 합동임을 알 수 있다.

합동이니 대각선 이외의 나머지 변도 같음을 알 수 있다.

즉, 평행하는 직선끼리는 어느 점을 찍든 거리가 같다는 얘기도 된다.

또, 저 수직선들도 평행 관계에 있음을 알 수 있고,

저 두 선분의 간격이 곧 두 선분 간의 거리가 된다.

저기에 있는 사각형을 직사각형이라고 하는데,

각 변이 평행하는 선분과의 거리를 뜻하기 때문에

도형의 넓이를 정의하기에 타당한 조건을 가지고 있다.

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일단, 직사각형은 위의 그림처럼 직각삼각형 두 개가 합동이므로,

두 개의 직각삼각형이 합친 것과 넓이가 같다.

그렇기 때문에 직각삼각형의 넓이는 직사각형 넓이의 절반이다.

직사각형 넓이가 S 이면, 직각삼각형의 넓이는 S/2 가 된다.

직사각형 넓이 S는 어떻게 정의하면 좋을지 생각해보자.

한변의 길이가 a인 직사각형 있을 때,

작은 직사각형의 높이를 b 큰 것의 것을 c라고 할 때,

이 둘의 넓이를 S_1, S_2라고 할 때,

넓이의 비를 S_1 : S_2 = b : c 라고 하면,

비율은 분수로 나타낼 수 있으므로,

S_1 / S_2 = b/c

이렇게 나타낼 수 있고,

S_1 = f ( a, b), S_2 = f( a, c) 라고 하면,

c = kb 라고 하면,

f ( a, c ) = f ( a , kb ) = k*f ( a , b) 라고 할 수 있으며,

이 관계를 가장 간단하게 나타낼 수 있는 식은

f ( a, b) = ab 가 될 것이다.

즉, 가로 길이 a, 세로 길이 b 인 직사각형의 넓이를 ab 로 나타낼 수 있다는 얘기이다.

그렇게 하면 조금 전에 얘기했던 직각삼각형은 넓이가 ab/2 가 된다.

이제 직사각형에서 평행사변형의 넓이를 알아보자.

직사각형을 조금 더 일반화한 형태가 평행사변형이다.

마주보는 두 선분이 평행하지만, 이웃한 선분 사이의 각을 a라고 할 때,

0도 < a < 180도

이렇게 된다. 직사각형은 a = 90 도일 때 말하는 것이며,

평행사변형의 특수한 경우라고 할 수 있다.

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넓이를 알기 위해 수선을 그어보도록 하겠다.

높이 같고, 마주보는 변의 길이가 같으며, 동위각에 수직선이므로,

직각삼각형이어서, 수직선과 빗변의 끼인각 또한 같다고 할 수 있다.

그렇기 때문에 두 직각삼각형은 서로 합동이다.

그러면 왼쪽의 직각삼각형을 오른 쪽에다가 옮기면

직사각형이 되고, 이는 원래 평행사변형의 넓이와 같다.

즉 평행사변형도 가로길이와 높이의 곱으로 넓이를 나타낼 수 있다.

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평행사변형을 어떻게 자르든 삼각형의 넓이는 같으므로,

평행사변형 넓이가 ab일 때, 두 형태의 삼각형은 ab/2로 같게 된다.

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다른 형태의 평면 도형들도 삼각형이나 평행사변형 넓이를 기초로

분해 합체하는 등으로 응용해서 구할 수 있을 것이다.