도형의 방정식 Equation of figure

저번에 방정식에 대해서 훑어보았다.

방정식은 미지수가 있는 식이며,

방정식의 등호가 참인 미지수의 값을 방정식의 근이라고 했다.

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이걸 조금 형식을 갖춰 나타내면,

미지수 x(1), ... , x(n) 일 때,

방정식은

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f( x(1), ... , x(n) ) = c

​

으로 나타낼 수 있고,

여기에서 방정식의 등호가 참인 미지수의 값을

( x(1), ... , x(n) ) = ( a(1), ... , a(n) )

일 때, ( a(1), ... , a(n)) 이 이 방정식의 근이 된다는 얘기이다.

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저래 적어서 감이 잘 안 올 수 있기 때문에,

예를 보면서 감을 익혀보자.

x + y = 1

이란 방정식이 있을 때,

( x, y ) = (1, 0 )

은 방정식의 값을 참으로 만들어주므로

( 1, 0 ) 은 이 방정식의 근이 된다.

하지만, 이 근이 방정식의 유일한 근은 아닐 것이다.

방정식에서 한 문자에 대한 식으로 고치면,

y = 1- x

이런 식으로 고칠 수 있을 것이다.

( x , y) = ( x , 1-x ) 가 될 것이고,

x 에 어느 수를 집어 넣어도 근이 생기므로

이 방정식의 근은 무수하다고 볼 수 있다.

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좀 전의 방정식에서

근을 표현하는 형식이 좌표 평면의 점을 표시하는 형식과 같지 않는가?

( x, y) 로 표시했으니 말이다.

x, y 가 실수 범위에 있다고 하면,

미지수의 값에 따라 방정식의 근이 변하므로,

변화하는 값들을 나타내기 위해,

미지수를 축으로 하는 좌표평면을 만들 수 있고,

거기에 방정식의 근을 나타낼 수 있을 것이다.

좀 전의 방정식의 근이 무수히 많다고 했으므로

좌표 평면에서 x + y = 1 에 해당하는 점은 무수히 많을 것이다.

방정식의 근을 좌표 평면에 나타내면 어떤 도형이 될 것임을 이끌어낼 수 있다.

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실수인 미지수가 n 개 이면,

방정식은 f ( x(1), ... , x(n) ) = c 로 나타낼 수 있고,

방정식의 근 ( x(1), ... , x(n) ) 은

미지수의 값에 따라 무수히 많으므로

방정식의 근을 다 나타내려면 미지수를 축으로 하여 좌표 공간을 만들어서 표현해야한다.

방정식 f ( x(1), ... , x(n) ) = c 의 근은 n 차원 공간 내의 도형으로 표현될 것이다.

즉, n 차원 도형으로 나타내어진 것의 점들의 특성을

미지수를 이용하여 방정식으로 표현한 것이 도형의 방정식이다.

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도형 A가 있을 때,

A : f ( x(1), ... , x(n) ) = c

이 방정식의 특성을 위와 같이 표현해보자.

A는 미지수인 x(1), ... , x(n) 를 축으로 하는 n차원 공간의 도형이라는 얘기인데,

이 도형을 이동시킬 때 방정식은 어떻게 표현할지를 생각해보자.

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이 방정식의 임의의 근을 ( s(1), ... , s(n) ) 이라고 하자.

f( s(1), ... , s(n) ) = c 가 참이라는 얘기이다.

임의의 근이라고 하면, 도형 A의 임의의 점을 얘기하기도 한다.

여기서 도형을 이동을 얘기해보도록 하겠다.

앞에 말한 것 처럼 미지수를 좌표 공간의 축으로 잡을 수 있고,

그 축들이 가만있는 상태에서 앞에 제시한 도형을

x(1) 양의 방향으로 m(1),

...

x(n) 양의 방향으로 m(n)

만큼 옮겼다고 하자.

이 때 도형을 B라고 하면,

이 도형의 점을 ( s(1) + m(1), ... , s(n) + m(n) ) 으로 나타낼 수 있다.

이게 도형 B의 방정식의 근이 된다.

( x(1), ... , x(n) ) = ( s(1) + m(1) , ... , s(n) + m(n) )

이렇게 말이다.

여기에서 각 미지수에 좀 전에 이동한 양만큼 빼는 짓을 해보자.

그러면,

( x(1) - m(1), ... , x(n) - m(n) ) = ( s(1), ... , s(n) )

도형 A의 방정식의 근이 된다.

미지수에 도형 B의 방정식의 근을 넣어 도형 A의 방정식의 근이 나오는 효과가 생긴다.

그러면, 도형 A의 방정식의 형식을 빌어 미지수 부분만 살짝 바꾸어

f ( x(1) - m(1), ... , x(n) - m(n) ) = c

라는 식을 세우면.

도형 B의 방정식의 근을 넣을 때, 방정식이 참이 되므로, 도형 B의 방정식으로 적합하다.

따라서, 도형 A에서 x(1) 축으로 m(1), ... , x(n)축으로 m(n) 만큼 이동한 도형 B의 방정식은

B : f ( x(1) - m(1), ... , x(n) - m(n) ) = c

라고 할 수 있겠다.

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정리하면 이런 식이다.

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도형 A 도형 B

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( m(1), ... , m(n) )

만큼 이동

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f( x(1) , ... , x(n) ) -----------> f ( x(1) - m(1) , ... , x(n) - m(n) )