행렬의 항등원 Identity element of Matrix

저번 포스트에서는 행렬의 덧셈과 곱셈에 대해 얘기했다.

덧셈은 교환, 결합법칙이 성립한다고 했었고,

곱셈은 결합법칙, 분배법칙은 성립하나, 교환법칙은 성립하지않다고 했었다.

수의 연산에서 나온 교환과 결합, 분배법칙을 행렬에서도 말했다는 얘기다.

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저번 포스트에서 빠진 것이 하나 있는데,

소거에 관한 얘기이다.

우선 항등원에 대해 얘기하면,

항등원은 어떤 연산을 했을 때 자기 자신이 나올 때

그 연산의 항등원이라고 한다.

a+0 = a

a*1=a

가 될텐데, 0은 덧셈의 항등원이라고하고,

1은 곱셈의 항등원이라고 한다.

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항등원에 대한 얘기를 했으니 소거에 대한 나머지 얘기를 이어가도록 하겠다.

a+b에서 b를 소거하면 a가 남고

a*b에서 b를 소거하면 a가 남는 사실을

덧셈과 곱셈만 써서도 표현할 수 있을 것이다.

a+b+c = a

a*b*x = a

이렇게 말이다.

수에서 덧셈, 곱셈의 결합법칙이 성립하므로,

괄호를 어떻게 묶든 관계없다.

위 연산에서

a+(b+c) = a

a*(b*x) = a

이렇게 되고, b+c 는 덧셈의 항등원, b*x는 곱셈에 대한 항등원이 된다.

두 수를 연산을 해서 항등원이 나올 때, 두 수는 서로 역원 관계에 있다고 한다.

덧셈에서는 b와 c가 역원 관계이고, 곱셈에서는 b와 x가 역원 관계에 있다고 할 수 있다.

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이렇게 수처럼 행렬도 소거에 대한 얘기를 할 수 있을 것이다.

A+B 에 B를 소거해 A를 만들고,

AB에 B를 소거해 A를 만드는 식으로 말이다.

행렬도 덧셈, 곱셈 모두 결합법칙이 성립하므로,

A+B+C = A+(B+C)

ABX = A(BX)

이렇게 될 것이고,

만약 위 연산의 결과가 A가 된다면,

B+C 는 덧셈의 항등원 BX는 곱셈의 항등원이 될 것이다.

사실 덧셈의 항등원은 그렇게 어렵지 않게 얘기할 수 있다.

행렬의 모든 원소가 0인 행렬이 되면 되기 때문이다.

그런 행렬은 O라고 하겠다.

그러면, B+C=O가 되고, 서로가 역원이 되어 B=-C 관계를 만들 것이다.

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하지만 행렬 곱셈의 항등원 역원에 대한 얘기는 조금 복잡할 것이다.

행렬의 곱셈이 성립하는 조건과 순서가 정해져있기 때문이다.

m 행 n 열 행렬을 m x n 행렬이라고 하면,

m x n 행렬과 곱할 수 있는 행렬은 행이 n 개여야 한다.

A 가 m x n 행렬이라고 하자.

그랬을 때 B를 n x p 행렬이라 할 수 있다.

이 때 X 행렬은 행이 p 개여야 한다.

AB 행렬은 m x p 행렬이고, B는 n x p 행렬이기 때문이다.

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X 행렬은 어떤 행렬이 되어야 할 지를 조금 더 알아보자.

A(BX)=A 이면, BX는 항등행렬이 될 것인데,

이걸 I 라고 하자. AI = A 이렇게 되는 건데,

I 가 어떻게 되는지를 보자.

일단 A는 m x n 행렬이니 I는 n x n 행렬이 되어야 할 것이다.

m x n 행렬과 n x p 행렬을 곱하면 m x p가 되는데,

p=n 이면, n x n 가 되지 않는가?

즉, I 는 행과 열이 같은 정방행렬이 되어야 한다.

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그러면 I를 구체적으로 어떻게 나타낼 수 있는지 보자.

행렬도 행렬의 나열을 한 묶음들의 행렬로 나타낼 수 있다.

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a_1,1 ... a_1,n

.

.

.

a_m,1 ... a_m,n

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이걸 한 행을 한 묶음으로,

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A_1

.

.

.

A_m

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이렇게 묶어서 나열할 수도 있고,

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A_1 ... A_n

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이렇게도 묶어 나열할 수 있다.

그러면, 행렬A를 A = ( A_1 ... A_n ) 으로 나타내 보도록 하겠다.

행렬 I 도 I = ( I_1 ... I_n ) 이렇게 나타낼 수 있다.

I의 k열인 I_k는 ( 1=< k =< n)

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i_k,1

.

.

.

i_k,n

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이렇게 나타낼 수 있고,

행렬 A와 곱하면,

​

i_k,1 A_1 + ... + i _k,n A_n = AI_k

​

이런 식으로 된다.

AI=(AI_1 ... AI_p ) 이렇게 나타낼 수 있으므로,

AI = A = ( A_1 ... A_n ) 이고,

AI_k = A_k 가 되어야 한다.

임의의 k에 대해서 위 식이 성립하려면,

이런 조건을 쓰면 될 것이다.

​

i_k,l = 0 ( k ≠ l )

i_k,k = 1 ( k = l )

( 1 =< k,l =< n )

​

이러면 될 것이다.

이런 조건이면, I_1 같으면,

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1

0

.

.

.

0

​

이고, I_n 이면,

​

0

.

.

.

0

1 <- n 번째 행

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이렇게 된다.

결국 I는 이런 식으로 정할 수 있을 것이다.

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1번째 열 2번째 열 ... n번째 열

1번째 행 1 0 ... 0

2번째 행 0 1 ... 0

.

.

.

n번째 행 0 0 ... 1

​

I는 정방행렬에 첫 행 첫 열 부터 대각선으로 끝 행 끝 열 까지 1로 되어있고,

나머지 칸은 0으로 되어있는 행렬이 될 것이다.

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그렇다면, I'A=A 가 되는 I'는 어떻게 만들 수 있을까?

I'도 항등원이라고 할 수 있을 것 같은데,

A 가 m x n 이므로, I'는 m x m 행렬이어야 한다.

이번엔 A 를 행 묶음으로 놔 보면서 I' 을 파악해보자.

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A_1

.

.

.

A_m

​

그리고 I' 의 k 행과 결합해보자.

( 1=< k =< m)

그러면,

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i_k,1 A_1 + ... + i_k,m = A_k

​

이렇게 되고,

이 식이 k 값에 관계없이 성립하려면

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i_k,l = 0 ( k ≠ l )

i_k,k = 1 ( k = l )

( 1 =< k,l =< m )

​

위에 것과 같은 형태로 될 것이다.

그러면 I'는 다음과 같은 형태의 행렬이 될 것이다.

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1번째 열 2번째 열 ... m번째 열

1번째 행 1 0 ... 0

2번째 행 0 1 ... 0

.

.

.

m번째 행 0 0 ... 1

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I' 와 I의 구조는 같다.

다만 m ≠ n 이면, 행렬 칸 수가 다르므로 I와 I' 는 다르다.

그렇기 때문에 두 항등원을 구분해서

I'를 좌항등원, I를 우항등원으로 부를 수 있다.

일단, m ≠ n 인 상태에서는 두 항등원이 서로 다르다.

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수 연산과 행렬의 덧셈 연산은 교환법칙이 성립해서

좌항등원과 우항등원이 서로 같았지만,

행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않아

두 항등원이 다르다.

그래서 항등원을 조금 더 엄밀하게,

두 개체 a, e가 있고, 임의의 연산 @가 있어

a @ (e_R) = a, e_R 은 우항등원

(e_L) @ a = a, e_L 은 좌항등원

이고,

e_L = e_R = e 일 때, e를 항등원이라고 정의하면 될 것이다.

임의의 연산에서 좌항등원 우항등원이 같을 때 항등원이라 할 거라는 얘기다.

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그러면 어떤 행렬에서 항등원이 정의되려면, 그 행렬은 정방행렬이어야 한다.

A가 m x n 행렬일 때, m = n 이어야 한다는 얘기다.

A 가 n x n 이니 항등원인 I 도 n x n 이어야 할 것이다.

항등원이 정해졌으니 역원도 분명 있을 것이다.

행렬 역원의 표시는 수와 같이 A^(-1)로 표시할 수 있다.

행렬 역원을 잠깐 언급했는데,

정방행렬이라고 다 역원이 존재하는지,

있다면 어떤 식이 되는지는 다음에 기회가 될 때 알아보겠다.

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