실수를 선으로 나타낼 수 있는가? Can real number be expressed as a line?

이전 포스트들에서 수체계에 대해서 파악해보았다.

수라는 기호를 도형에 대비해보면 어떨까?

일단 수의 기본인 자연수부터 생각해보자.

자연수의 각 숫자 자체는 하나의 원소이기 때문에,

하나의 원소를 가장 단순하게 나타내는 방법은 점으로 나타내는 것일거다.

자연수 집합은 순서가 있는 집합이므로

한 직선 위에서 점을 일정방향으로 일정한 간격의 순서대로 나타내는 걸로 나타낼 수 있다.

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형편없는 그림이지만, 그림으로 나타내면 이런 식이 될 것이다.

흰 색 동그라미를 점으로 봐라.

자연수와 점들의 집합을 함수로 만들었을때,

일대일대응 관계로 만들 수 있다.

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정수와 유리수가 자연수와 일대일대응 관계를 만들 수 있으므로,

점들의 집합에 대응할 수 있을 것이다.

정수는 자연수와 대응되는 점들과 반대방향으로 같은 직선 위에 찍어서 나타낼 수 있고,

유리수는 정수 사이에 조밀하게 찍으면 된다.

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정수

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유리수

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유리수 같은 경우는 저기 수들 사이에 더 촘촘하게 수를 넣을 수 있다.

1/n에서 n을 계속 크게하면, 위에 있는 0에서 1/7 사이에 수많은 수를 넣을 수 있다.

1/3과 2/3 사이, 2/3과 1 사이에서도 마찬가지이다.

1/3+1/n (n>3 인 자연수) 이러면 1/3과 2/3 사이에 수없이 많이 넣을 수 있고,

2/3 + 1/n ( n>3인 자연수 ) 이러면 2/3과 1사이에 수없이 많이 넣을 수 있다는 얘기다.

임의의 유리수 p,q 사이에도 수많은 수를 넣을 수 있다.

q = p + r ( p, q, r 유리수) 라고 하면,

r보다 작은 유리수는 수없이 많이 만들 수 있으므로,

p, q 사이에 수없이 많은 수를 넣을 수 있는 것이다.

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수알못시리즈에

무리수, 실수 그리고 더 큰 체계 Irrational number, real number and the greater system

에 있는 내용 중에

p^(1/n) ( p는 소수(prime number), n>1 인 자연수) 라고 하면,

이 수는 유리수로 나타낼 수 없다는 사실이 있다.

유리수에 해당하는 점을 아무리 촘촘히 찍어봐야

그 점들 사이에는 위에 적은 수에 해당하는 점이 반드시 있다.

이런 수가 무리수에 해당한다.

즉, 유리수 집합과 직선은 일대일 대응이 되지 않는다는 점을 알 수 있다.

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유리수, 무리수 합하면 실수가 되고,

실수 이외에 허수가 있지만,

실수와 허수는 순서가 서로 하나의 사슬로 이어지는 순서가 아니다.

이것도 역시 수알못시리즈에

무리수, 실수 그리고 더 큰 체계 Irrational number, real number and the greater system

에 있는 내용 중에 내용을 참고하라.

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0만 공동으로 가지고 있고, 그림과 같이 서로 다른 결을 그리는 사슬 식으로 될 것이다.

가로선을 실수로 보면, 세로선을 허수로 볼 수 있다.

직선도 하나의 사슬로 볼 수 있고, 하나의 사슬로 나타낼 수 있는 범위는 실수까지이다.

유리수 범위도 직선으로 나타낼 수 없었고, 복소수 범위는 하나의 직선으로 나타낼 수 없으므로

그 중간 단계인 실수만이 직선으로 나타낼 수 있는 집합이 될 것이다.

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이러한 사실을 형식으로 나타내면 어떤 식일까?

일단, 임의의 범위가 있다고 해보자.

I = { x ㅣ x < p } 나 J = { x ㅣx >= q } 혹은 K = { x ㅣ s =< x < t }

이런 식으로 말이다.

여기서 범위 K 의 경계는 s 와 t 일 것이다.

여기서 s나 t가 무리수라고 하면,

경계에서 가장 큰 유리수를 u라고 지정해도,

u와 t는 다른 수이고,

다른 수 사이에 유리수는 얼마든지 넣을 수 있으므로,

경계가 유리수 집합 안에 없게된다.

그러면, 실수를 직선으로 나타낼 수 있는 서술은

실수의 임의의 부분집합을 범위 I 로 나타낼 수 있고,

이 범위의 경계는 실수의 원소가 된다 이런 식일 것이다.

범위를 어떻게 나타낸다하더라도 경계가 실수 안에 들어간다는 것이다.

직선 위의 선분을 어떻게 정하더라도 경계가 되는 점은 실수로 표현된 점이 된다.

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실수가 직선으로 표현 될 수 있고

직선위의 점은 실수 집합에 일대일 대응됨을 알았다.

평면과 공간 위의 점은 어떤 식으로 표현할 수 있을까?

평면은 두 개의 평행하지 않은 직선이 포함하면 되므로,

두 개의 직선으로 표현할 수 있을 것이다.

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직선일 때 일정한 간격을 기준으로 수를 나타내지 않았는가?

일정한 간격은 거리를 나타내는 기준이 될 수 있다.

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직선과 떨어져있는 점은 직선과 거리를 잴 때 가장 짧은 경로의 길이로 잰다는 점을 생각하면,

점에서 직선과 수직인 선분을 그어 직선 위의 수선의 발과 해당 점의 길이가 바로 거리가 될 것이다.

평면 위의 점을 나타내기 위한 두 개의 직선 축을 정한다면,

두 개의 직선은 서로 수직해야함이 타당할 것이다.

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저런 평면의 이름을 좌표 평면이라고하고,

그림 위에 있는 점을 좌표라고 했을 때,

이걸 어떻게 표현할 지 생각해보자.

가로 직선에서는 b만큼 떨어져 있고,

세로 직선에서는 a만큼 떨어져 있다.

직선은 실수의 집합으로 표현할 수 있으므로.

두 개의 직선으로 표현할 수 있으면,

저 평면을 실수의 곱집합으로 표현할 수 있을 것이다.

R x R = { ( x, y) ㅣ x ∈R ∧ y ∈R }

그러므로 위 그림에 있는 점은 (a,b)로 표현할 수 있다.

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앞에서 언급했던 실수와 허수를 합친 복소수도 저런식으로 표현할 수 있다.

z = x + i y ( x, y 는 실수, i = (-1)^(1/2) )

로 표현하면,

실수와 허수는 서로 순서에 관여하지 않고 각자의 방향으로 가는 순서니까

위의 좌표평면으로 나타낼 수 있고,

f : R x R -> C , f( x, y) = x + i y 이렇게 나타낼 수 있겠다.

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그러면, 공간에서 점은 어떻게 나타낼 수 있을까?

평면과 떨어진 점과 평면과의 거리는

직선과 점과의 거리와 마찬가지로

점에서 평면에 내린 수선의 발과의 길이가 될 것이다.

공간을 나타내는 축은 직선 3개로 가능할 것이고,

세 개의 직선은 모두 수직하면 된다.

좌표는 직선 3개니까 R^3로 나타내고,

R^3 = { ( x, y, z) ㅣ x ∈R ∧ y ∈R ∧ z ∈R }

여기의 원소를 ( a, b, c ), 3개의 수의 짝으로 표현하면 된다.

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정리하면 직선은

R = { x ㅣ x ∈R }

평면은

R^2 = { ( x, y) ㅣ x ∈R ∧ y ∈R }

이렇게 나타낼 수 있고,

직선을 1차원 공간, 평면을 2차원 공간이라고 하면,

앞에 말한 공간을 3차원 공간이라 할 수 있겠고,

R^3 = { ( x, y, z) ㅣ x ∈R ∧ y ∈R ∧ z ∈R }

이렇게 표현이 가능할 것이다.

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우리가 사는 세계가 3차원 공간 속이므로

직관적으로 그림으로 표현할 수 있는 건 3차원 공간이 한계이고,

4차원 이상의 공간에서는

3차원 공간까지에서 나타나는 성질을 기반으로 서술하게 될 것이다.

4차원 공간은 4개 직선이 축을 이루고,

축이 서로 수직한 공간을 서술할 수 있을 것이다.

그림으로 나타낼 수 있는지는 모르겠지만,

대체적으로 나타낼 수 없다고 보는 게 맞을 것이다.

여튼 4차원 공간은 R^4로 볼 수 있고,

R^4 = { ( x, y, z, w) ㅣ x ∈R ∧ y ∈R ∧ z ∈R ∧ w ∈R }

로 표현할 수 있다.

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이런 논리로 임의의 자연수 n 에 대해서

n 차원 공간은

R^n = { ( x(1), ... , x(n)) ㅣ 1=< i =< n 인 모든 자연수에 대해서, x(i)∈R }

이런 식으로 나타낼 수 있을 것이다.

물론 모든 축은 수직하고 말이다.