방정식, 다항식과 연립 방정식 훑어보기 Thumbing through equation, polynomial and system of equations

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a = b 는 a와 b가 같다는 의미이다.

이런 식을 등식이라고 한다.

실제로 a와 b가 같으면, 참인 등식이고,

두 값이 다르면 거짓인 등식이 된다.

예를 들면 3+4=7 이란 등식을 보자.

이 등식은 참인 등식이다.

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위에 이런 식들은 미지수가 없는데,

미지수를 x로 두고 ax+b=c 등식을 세우면,

이런 식을 방정식이라고 한다.

즉, 방정식은 미지수가 있는 식이다.

문자끼리 있어도 미지수인 문자를 정하면 방정식이 된다.

이 때, x = ( c-b ) / a 이면 참인 등식이 되고,

다른 값이면 거짓인 등식이 된다.

방정식의 등식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 방정식의 근이라고 한다.

위에 예시로 든 방정식은 ( c-b )/a 가 근이 된다.

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방정식도 미지수가 한 개인 것만 있는 것도 있지만,

여러 개 있는 것도 있기 때문에,

우선 한 개 있는 것 부터 한 번 훑어보고,

그 다음에 여러 개 있는 것을 훑어보도록 하겠다.

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미지수가 하나 있는 것 부터 생각해보자.

방정식의 근이 a라고 할 때, 가장 간단하게 나타낼 수 있는 방정식은

x = a 가 될 것이고 우변에 a를 소거시키면, x-a=0 으로 나타낼 수 있다.

어떤 식에서 abcd=0 이라고하면,

a,b,c,d 중 하나만 0이 되어도 참인 등식이 된다.

그럼, 이런 방정식을 세워보자.

미지수는 x 이다.

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0

이 방정식의 근은 x에 뭘 넣어야 참이 될 지를 생각해보면,

a를 넣어도 참이되고, b, c, d 를 넣어도 참이 된다.

즉 이 방정식의 근은 a,b,c,d 이렇게 4개가 된다.

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미지수가 x인 방정식

( x - a(1) )* ... * ( x - a(n) )=0

이 있다고 하면, 이 방정식의 근은 a(1)부터 a(n)까지 n개가 된다.

이 방정식을 전개시키면,

각 괄호 당 하나의 항만 골라서 곱한 것들의 합이 된다.

(이 사실은 (a+b)^n 포스트를 참고하라.)

이 방정식에서 미지수 x를 가장 많이 곱할 수 있는 수는 n이 될 것이다.

각 괄호에 x를 골라서 곱하니 x를 n 번 곱한 x^n가 된다.

방정식에서 미지수를 가장 많이 곱한 항을 최고차항이라고 하며,

이 방정식에서는 x^n이 최고차항이며,

이 방정식을 최고차항의 차수를 적용하여 n차 방정식이라고 한다.

예를들어, ax^3 + bx + c = d 이면, 미지수는 x이다.

최고차항의 차수가 3이므로 3차 방정식이라고 한다.

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미지수가 x인 방정식

( x - a(1) )* ... * ( x - a(n) )=0

은 n차 다항 방정식으로 근의 개수가 n개가 있다.

그러면, 저 근들은 어떤 수 집합의 범위로 해야

n차 다항 방정식의 근의 개수가 n개라는 사실이 참이 될까?

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x^2 + 1 = 0 이라는 방정식을 보자.

이 방정식을 참으로 만드는 수는 어떤 범위인가?

만약 실수 범위라고하면,

이 방정식을 참으로 만들 수 있는 근이 없다.

하지만 복소수 범위로 넓히면,

근은 i 와 -i 로 근이 2개 생긴다.

( i = (-1) ^( 1/2) )

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n차 다항 방정식의 근이 실수 범위에선 n개가 되지 않을 때도 있다.

복소수 범위면 n개가 되는지 아니면,

수의 범위를 더 넓혀야 n 개가 되는지 여부는

이 포스트에서 얘기하면 얘기가 길어지므로

기회가 될 때 다른 포스트에서 따로 설명하겠다.

결과적으로는 복소수 범위면 충분히 참으로 만들 수 있다.

즉, 임의의 n차 다항 방정식의 근은 n개의 복소수 근이 된다는 얘기다.

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미지수 하나인 방정식은 여기까지하고,

미지수가 여러 개인 방정식을 살펴보자.

미지수를 x, y로 둘 때,

ax+by=c 이런 식이 예시가 될 것이다.

이런 식은 미지수들의 값이 딱 하나로 정해지지 않는다.

저 식을 다르게 표현해보면서 살펴보자.

y의 값을 표현하면,

y = ( c - ax ) /b

= - ( a/b) x + c/b

이런 식으로 된다.

x 에 넣는 값에 따라 y 값이 달라진다.

방정식의 근을 (x,y) 이렇게 표현했을 때,

근의 수가 무수히 많아질 수 있다는 얘기다.

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하지만 미지수가 여러 개인 방정식이 여러 개라면 어떨까?

kx + ly = p

mx + ny = q

이런 경우부터 파악해보자.

각 계수 k, l , m , n 은 0 이 아닌 수이다.

두 식에서 위의 식에 m을 곱하고, 아래 식에 k를 곱해보자.

kmx + lmy = pm

mkx + nky = qk

위의 식에서 아래식을 빼면,

미지수 x 항이 0이 되기 때문에,

미지수 y의 항만 남아, 미지수 y만 있는 방정식이 된다.

lmy - nky = pm - qk

( lm - nk ) y = pm - qk

y = ( pm - qk ) / ( lm - nk )

이런 식으로 y 값이 구해진다.

두 식 모두 성립되는 미지수 y의 공통 근이 된다.

x도 마찬가지 방법을 쓰든 둘 중 한 식에 y값을 대입하면,

x에 관한 방정식이 될 것이므로,

두 방정식이 모두 성립되는 x의 근이 구해질 것이다.

x = ( pn - ql ) / ( nk - lm )

이렇게 말이다.

단, nk ≠ lm 이어야 한다. 분모가 0이 되면 안되기 때문이다.

다르게 표현하면, k/m ≠ l/n 이다.

이러면 두 식의 공통 근이 있다.

만약, 분모가 0, nk = lm 일 때,

분자가 0 이 아니면, r/0 (r은 0이 아닌 실수) 형태로

불가능한 상태이기 때문에 공통근이 없다.

k/m = l/n ≠ p/q로 표현할 수 있다.

분자가 0이면, 0/0 값을 특정할 수 없기 때문에,

이 때는 근이 무수히 많다.

k/m = l/n = p/q 인 상태이다.

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위 내용을 정리하면,

kx + ly = p

mx + ny = q

에서 두 방정식에서 같이 성립되는 (x,y)의 수가 하나가 되려면,

k/m ≠ l/n 이고,

k/m = l/n 에서 p/q도 k/m = l/n과 값이 같으면,

근은 무수히 많게되고,

다르면 근이 없다.

사실 k/m = l/n = p/q 일 때,

두 방정식은 같은 식이다.

k = m * k/m, l = n * l/n , p = q * p/q

k/m = l/n = p/q = w 라고 하면,

kx + ly = p 가 mwx + nwy = qw

w( mx + ny ) = qw

이 식을 w로 나누면

mx + ny = q

가 되기 때문이다.

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미지수가 2개인 방정식이 3개가 있을 때, 근은 어떻게 될까?

ax + by = p

mx + ny = q

ux + vy = r

이렇게 있을 때, 첫째 식과 둘째 식, 첫째 식과 셋째 식을

두 개 방정식 때 처럼 곱하고 빼 보겠다.

그럼,

ax + by = p

( bm - an) y = pm - aq

( bu - av ) y = pu - ar

두 번째 세 번째 y 값이 같으면, 공통 근이 있겠지만,

다른 경우면 공통 근이 없다.

( pm - aq ) / ( bm - an) 와

( pu - ar ) / ( bu - av ) 가

같을 때도 있지만, 다를 때도 있지만,

저 두 값이 같으려면 특정 조건이 성립해야 한다.

즉, 이번 경우는 공통 근이 생길 경우가 특수하다는 것이다.

두 개일 경우는 공통 근이 없거나 무수히 많은 경우가 특수한 것과 다르다.

조금 다르게 얘기하면, 두 개일 경우는 일반적으로 공통 근이 있고,

세 개일 경우는 일반적으로 공통 근이 없다.

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조금 더 발전시키면 미지수의 수보다 방정식의 수가 많으면

일반적으로 공통 근이 없다는 얘기다.

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a(1,1) x(1) + ... + a(1,n) x(n) = b(1)

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.

a(m,1) x(1) + ... + a( m, n) x(n) = b(m)

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이런 연립 방정식을 보자.

이 때, m > n 이면, 미지수의 수보다 방정식의 수가 많다.

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a(1,1) x(1) + ... + a(1,n) x(n) = b(1)

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.

.

a(n,1) x(1) + ... + a( n, n) x(n) = b(n)

.

.

.

a(m,1) x(1) + ... + a( m, n) x(n) = b(m)

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이렇게 될 때, 위에서 보였던 연립 방정식에서 항을 소거한 것 처럼 소거하면,

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a(1,1) x(1) + a(1,2) x(2) + ... + a(1,n) x(n) = b(1)

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.

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c(n,2) x(2) + ... + c( n, n) x(n) = d(n)

.

.

.

c(m,2) x(2) + ... + c( m, n) x(n) = d(m)

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첫 항을 소거시키면 이런 식이고,

이런 과정을 계속 수행하면,

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a(1,1) x(1) + a(1,2) x(2) + ... + a(1,n) x(n) = b(1)

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.

.

p( n, n) x(n) = q(n)

.

.

.

p( m, n) x(n) = q(m)

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이런 식으로 형성되고,

x(n)이 q(n) / p( n,n ) 에서 q(m) / p( m,n)까지 여러개가 있게된다.

이 값들이 다 같을 경우가 특정 조건이 성립되어야 가능하므로 특수한 경우이며,

일반적으로 다르다고 봐야하며, 이는 이 연립 방정식의 공통 근이 일반적으로 존재하지 않는다는 얘기이다.

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m<n 인 경우를 위와 같은 방식으로 소거시키면,

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a(1,1) x(1) + a(1,2) x(2) + ... + a(1,n) x(n) = b(1)

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r(n,m) x(m) + ... + r( n, n) x(n) = s(m)

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이런 식이다.

이 때, 미지수 x(m), ... , x(n) 중 아무거나 하나 골라서 값을 집어넣으면,

집어넣는 값에 따라 나머지 값이 달라진다.

즉, 연립 방정식의 공통 근이 무수히 많다는 얘기다.

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일반적으로 공통 근이 유일하게 존재하는 조건은 m=n이다.

여기에다 다른 조건을 추가한다면,

1=< k,l =< n 이고, 1=< p,q =<n 일 때,

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... + a( k,p ) x( p) + ... + a( k, q) x(q) + ... = b(q)

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... + a( l,p ) x( p) + ... + a( l, q) x(q) + ... = b(q)

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임의의 k, l, p, q 에 대해서

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a(k,p) a( l, q) - a(k,q) a( l, p) ≠ 0

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조건이 성립해야 한다.

연립 방정식에 대해서는 이 정도로 마무리 하겠다.

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방정식은 a x(1) + ... + b x(n) = c ( x(1), ... , x(n) 은 미지수 )

이런 식 뿐만 아니라,

a^( xy) = b , p/ ( x^y + zw ) = q ( x,y,z,w 는 미지수)

이런 형식도 방정식으로 만들 수 있다.

다양한 형식의 방정식을 다 표현 못하니까

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f ( x(1), ... , x(n) ) = c ( c는 상수, 미지수가 아님 )

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이런 식으로 미지수가 x(1), ... , x(n)인 임의의 방정식을 표현할 수 있다.

 

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방정식에 대해서 이리 저리 훑어보았다.

다음에 보충할 내용이 있으면, 포스트를 더 써서 보충하도록 하겠다.