피타고라스의 정리 Pythagorean theorem

수학에 대해서 다른 건 기억 안나도

피타고라스 정리 이거 하나만큼은 뭔지 몰라도 기억 날 것이다.

직각 삼각형이 있으면

​

a^2 + b^2 = c^2

​

이 성립한다는 것이다.

이게 워낙에 오래된 역사를 갖고 있고 유명하기까지 해서

많은 방법의 증명이 있다.

그 중에서 대표적인 증명은 4가지 정도가 된다.

아래 링크에 잘 설명되어있으니, 보면 되겠다.

​

https://mathbang.net/130

피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명

https://mathbang.net/131

유클리드의 증명, 가필드의 증명 - 피타고라스의 정리 증명

이 피타고라스의 정리를 응용해서 입체도형 대각선의 길이도 구할 수 있을 것이다.

아래 직육면체의 대각선 길이를 보도록하자.

선분 AC의 길이를 d라고하면,

d^2 = a^2 + b^2

이 된다.

그리고, 선부 AG를 f 라고 하면,

f^2 = d^2 + c^2

= a^2 + b^2 + c^2

여기에서 입체 도형의 점 간의 거리는 가로, 세로, 높이로 나타낼 수 있음을 알 수 있다.

​

이 사실을 좌표 공간에서 나타내면,

A를 ( x_0, y_0, z_0 ) 으로 나타내보자.

그리고, G를 ( x_1, y_1, z_1 ) 으로 나타내보자.

그러면,

a = x_1 - x_0

b = y_1 - y_0

c = z_1 - z_0

이렇게 될 것이다.

그러면 선분 AG 길이 제곱은

a^2 + b^2 + c^2 이므로

( x_1 - x_0 ) ^2 + ( y_1 - y_0 )^2 + ( z_1 - z_0 )^2

이 될 것이다.

공간에서의 점 간의 거리는 각 축 좌표의 차이의 제곱의 합으로 나타낼 수 있다는 얘기다.

​

이 정리를 n개의 수직한 축으로 된 n차원 공간으로도 확장시킬 수 있을 것이다.

수직한 선분끼리는 피타고라스 정리를 쓸 수 있으며,

축이 n 개이므로, n개 방향의 선분의 길이를 이용하여 길이를 구할 수 있으므로

피타고라스 정리에서의 항의 개수는 n개가 될 것이다.

​

두 점

이 있다고 하자.

저기 위에서 R^n은 n 차원 공간이란 뜻이다.

기호의 조합은 두 점이 n차원 공간에 있다는 뜻이고 말이다.

이때, 두 점간의 거리는

이렇게 나타낼 수 있다.

저기 위에서 R^n은 n 차원 공간이란 뜻이다.