삼각형에서의 사인, 코사인 정리 Theorem about sine and cosine in triangle

이전 포스트에서 삼각비, 삼각함수를 정의했으므로

정의 부분은 생략하겠다.

삼각비를 이용해서 많이 쓰이는 정리 중에 하나가

사인과 코사인 정리이다.

정리대신 법칙이란 말을 쓰기도 한다.

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이 정리들은 삼각형의 면적과 피타고라스 정리를 이용해서 증명할 수 있다.

먼저 사인에 대한 정리를 보도록 하겠다.

대충 이런 삼각형이 있다고 해보자.

밑변을 z로 했을 때, 삼각형의 높이는 y sin(a) 가 될 것이다.

또, x sin(b)가 되기도 한다.

각이 c 인 점에서 길이가 z인 선분에 수선을 내려보면 알 수 있다.

그러면 이 삼각형의 면적은 yz sin(a) / 2 = zx sin(b)/2 가 된다.

즉, 삼각형 두 변과 그 사이에 끼인 각의 사인 값을 곱하고 2를 나눈 값과 같게 된다.

각 c 를 끼인 각으로 했을 때 면적은 xy sin(c) /2 가 된다.

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yz sin(a) / 2 = zx sin(b)/2 = xy sin(c) /2

이건

yz sin(a) = zx sin(b) = xy sin(c)

이렇게 되고, 각 변에 xyz를 나눠보자.

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x / sin(a) = y / sin(b) = z / sin(c)

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삼각형에서 각 각의 사인값과 그 마주보는 선분 길이의 비가 같음을 알 수 있다.

이게 삼각형에서의 사인 법칙 혹은 정리이다.

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코사인 정리는 두 가지가 있어서

각각 제 1 , 제 2 를 붙인다.

제 1 코사인 정리는 삼각형 변의 길이를 코사인으로 표현한 식이다.

위 삼각형에서 z 는 y cos (a) + x cos (b) 로 표현할 수 있음을 알 수 있다.

이런 식으로 선분의 길이 x, y, z 를 표현하면,

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x = y cos (c) + z cos (b)

y = z cos(a) + x cos (c)

z = y cos (a) + x cos (b)

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이렇게 된다.

이 식으로부터 x^2 , y^2 , z^2 을 표현하면,

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x^2 = xy cos (c) + zx cos (b)

y^2 = yz cos (a) + xy cos (c)

z^2 = yz cos (a) + zx cos (b)

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이렇게 된다.

여기서 식들을 서로 조합해서 계산해보자.

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x^2 + y^2 - z^2 = 2 xy cos (c)

y^2 + z^2 - x^2 = 2 yz cos (a)

z^2 + x^2 - y^2 = 2 zx cos (b)

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이런 식으로 되고, 식을 조금 이항시켜보면

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x^2 = y^2 + z^2 - 2yz cos (a)

y^2 = z^2 + x^2 - 2zx cos (b)

z^2 = x^2 + y^2 - 2xy cos (c)

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각 변의 길이의 제곱은

삼각형의 다른 변들의 길이를 각각 제곱한 합에

그 다른 변들과 그 변들의 끼인각의 코사인 값을 곱하고 2를 곱해준 값을 빼준 값이 된다.

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cos (a) = ( y^2 + z^2 - x^2) / 2yz

cos (b) = ( z^2 + x^2 - y^2) / 2zx

cos (c) = ( x^2 + y^2 - z^2) / 2xy

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각 각의 코사인 값은

그 각을 끼고 있는 변 길이 각각의 제곱을 더하고

마주보는 각의 제곱을 뺀 후

그 값에서 끼고 있는 변 길이를 서로 곱하고 2를 곱해준 값을 나눠줄 때 나오는 결과이다.

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이건 피타고라스 정리를 이용해서도 보여줄 수 있다.

x^2 을 구해보자.

x^2 = ( z - y cos(a) ) ^2 + ( y sin (a) )^2

으로 표현할 수 있다.

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x^2 = z^2 - 2yz cos(a) + ( y cos(a) )^2 + ( y sin(a) )^2

= z^2 - 2yz cos (a) + y^2 * ( (cos (a))^2 + (sin(a))^2 )

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cos(a) = n/m 이라고 하고, sin(a) = l/m 이라고 하자.

이 때, m^2 = n^2 + l^2 이 성립한다.

사인, 코사인은 직각삼각형에서 정의된 것을 베이스로 하기 때문이다.

그러면

(cos(a))^2 + (sin(a))^2) = n^2 / m^2 + l^2 / m^2

= ( n^2 + l^2 ) / m^2

= m^2 / m^2 = 1

이렇게 되므로

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x^2 = z^2 - 2yz cos(a) + y^2

= y^2 + z^2 -2yz cos(a)

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이렇게 되고, 다른 변도 이런 식으로 구할 수 있다.

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이것들이 제 2 코사인 정리이다.

유도해내는 방법들이 여럿 있고, 결과 형태도 달라보이지만

결과 형태는 하나의 방식에서 이항시킨 것이기 때문에 같다.

다른 유도 방식들이 있을 수 있겠지만,

대표적인 두 가지 접근 방식만 언급했다.

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삼각형에서의 삼각함수 정리들은 여러모로 유용한 정리이기 때문에

숙지해두면 도움이 꽤 될 것이다.

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