벡터와 행렬, 행렬식과 부피 관계 Relationships between vector and matrix, and between determinant and volume

이번에 얘기할 걸 두 가지로 나눠보면

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1. 표현 방식에서의 벡터와 행렬

2. 행렬식과 부피

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이렇게 간단히 얘기할 것이다.

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1. 표현 방식에서의 벡터와 행렬

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n차원 벡터를 표현하는 방식은

이렇게 숫자 n개로 표현할 수 있다.

물론 세로로도 표현할 수도 있을 것이다.

뭐 두 형식 모두 행렬로도 볼 수 있다.

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여러 개의 벡터를 나열하는 것도 행렬로 표현할 수 있다.

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A_1 에서 A_n 을 세로로 표현해서

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이렇게도 표현할 수 있는데,

A 위 첨자 T 는 A를 전치했다(transpose)고 하고,

전치했다는 것은

a_i,j 와 a_j,i ( 1 =< i,j =< n ) 를 바꿔뒀다는 의미이므로,

A의 전치 행렬(transposed) 이라고 한다.

물론 행렬식은 둘이 같다.

구성 원소 같고, 조합하는 방식 같으니까 말이다.

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벡터로부터 이끌어서 전치행렬이란 걸 이끌었으니,

벡터의 내적도 행렬로 표현할 수 있을 것이다.

이 두 행렬을 벡터로 볼 때, 벡터의 내적은

이렇게 표현할 수 있다.

이것의 결과는 수가 되니까 벡터의 내적과 같다.

벡터와 행렬 표현의 관계는 여기서 간단히 끝내고 다음으로 넘어가겠다.

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2. 행렬식과 부피

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행렬식과 부피의 성질을 파악한 후에 행렬식을 부피로 나타낼 수 있는지 알아보자.

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우선 행렬식의 성질을 보자.

일단 단위 행렬의 행렬식은 1이다.

이걸 기준으로해서 다음과 같은 성질들로

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1)

det ( ..., A_i, ... , A_i, ...) = 0

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2)

det ( ..., A_ j, ..., A_i, ... ) = - det( ..., A_i, ... , A_ j, ... )

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3)

det ( ..., a A_i + b B_i , ...., A_ j ,...)

= a det ( ..., A_i , ... , A_ j , ... ) + b det ( ... , B_i, ... , A_j, ... )

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행렬식을 수로 나타낼 수 있다.

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부피의 특징을 알아보자.

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일단 부피의 기준도 n개의 단위 벡터로 이뤄진 도형의 크기로 할 것인데,

그 도형이란게 단위 벡터들과 그 벡터들과 평행한 선분들로 이루어진 도형을 얘기한다.

크기는 당연히 1로 할 것이다.

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이런 기준으로 시작하여 부피의 특징을 살펴보면,

우선, n차원 공간에서 n-1 차원 이하의 도형은

n차원 척도로 나타내는 부피로 나타내면 0이다.

예를 들어 2차원 도형인 삼각형의 3차원 척도인 부피는 0이다.

이 성질은 행렬식의 1)번 성질과 같다.

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0인 부피를 살폈으니 0이 아닌 부피를 살펴보도록 하겠다.

1차원 척도는 길이이고 2차원 척도는 넓이긴 하지만,

일반적으로 부피라고 칭하겠다.

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길이야 선의 길이만 생각하면 되므로 따로 설명할 건 없다.

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2차원 부터는 다른 차원에서 하나씩 늘어가는 식이라,

설명할 것이 있다.

2차원의 척도는 1차원 길이가 있을 때,

그 선분에서 수직으로 떨어진 만큼을 곱하여 크기를 표현한다.

이걸 벡터로 설명하면,

벡터 a 와 벡터 c 가 있을 때,

이 두 벡터가 이루는 도형의 크기는

벡터 a가 만들어내는 도형을 기초로 하고,

벡터 a의 크기를 a로 했을 때,

벡터 c의 끝인 점과 벡터 a 와의 거리가 h 이므로,

이 두 벡터에 평행한 평행사변형을 만들면,

그 크기는 ah로 표현할 수 있다.

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벡터 c에 실수배를 하고, 벡터 d에 실수배 한 것을 더 더했을 때

크기를 알아보자.

벡터 a와 벡터 d가 결합해서 생긴 평행사변형의 넓이를 ak라고 하고,

이 두 벡터를 합한 벡터와 벡터 a와 결합으로 생긴 평행사변형의 넓이를 생각해보면,

pah+qak = p(ah) + q(ak) 이렇게 될 것인데,

행렬식 3) 번의 성질과 동일함을 알 수 있다.

두 벡터의 수직 방향이 같을 때를 그림을 그렸지만,

서로 반대일 때도 성립하긴 한다. 한쪽을 음수로 놓으면 되니 말이다.

그렇게 되면, p, q 에 따라 pah+qak = p(ah) + q(ak)의 값이 음수가 될 수 있으므로,

크기를 표현할 때는 절대값을 씌워서 표현하면 된다.

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이걸 3차원이나 다른 높은 차원에도 다음과 같이 응용을 할 수 있다.

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이것 역시 예시로 두 벡터의 수직방향이 같을 때를 그리긴 했지만,

한 쪽에 마이너스를 붙이면 반대가 되고,

부피에 절대값을 붙이면 된다.

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부피는 방향은 없고, 크기만 있으므로

부피는 음수가 될 수 없다.

n개의 n차 벡터로 형성할 수 있는 도형의 부피는

벡터 순서와 관계없이 같으므로

2)번 과는 안맞다고 할 수 있으나,

2)번에 절대값을 씌우면 같다.

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이런 특징들을 따져서 부피를 생각하면,

A_1, ... , A_n 벡터로 이루어진 도형

즉, 이 벡터들과 그들과 평행인 선분으로 이루어진 도형의 부피는

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l det ( A_1 , ... , A_n ) l

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이렇게 표현할 수 있다.

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